Question

Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 e A(t) sua transposta, determine A, tal que A = 2 . A(t). 

Answer 1

A = [ a11 a12 ]
      [ a21 a22 ]

A matriz transposta troca as linhas com as colunas. Dessa forma, sua transposta será:   
At = [ a11 a21 ]
       [ a12 a22 ]

Queremos A tal que A = 2At, ou seja:
[ a11 a12 ] = 2 [ a11 a21 ]
[ a21 a22 ]       [ a12 a22 ]

Ou seja:
a11 = 2a11 => a11 = 0;

a12 = 2a21
a21 = 2a12

Substituindo uma equação na outra, obtemos: a12 = 4a12 => a12 = a21 = 0
a22 = 2a22 => a22 = 0

Portanto, essa matriz é a matriz nula! Ou seja:
A = [ 0 0 ]
      [ 0 0 ]

Answer 2

A matriz A é a matriz nula.

Se a matriz A é uma matriz quadrada de ordem 2, então a mesma possui duas linhas e duas colunas.

Sendo assim, vamos supor que A é $A=\left[\begin{array}{ccc}x&y\\z&w\end{array}\right]$.

Para definirmos a matriz transposta, o que era linha vira coluna e vice-versa. Então, a matriz transposta de A é: $A^t=\left[\begin{array}{ccc}x&z\\y&w\end{array}\right]$.

De acordo com o enunciado, a matriz A é o dobro da sua transposta. Então, vamos multiplicar cada elemento da matriz transposta por 2 e igualá-la à matriz A:

$\left[\begin{array}{ccc}x&y\\z&w\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}2x&2z\\2y&2w\end{array}\right]$.

Igualando os elementos correspondentes, obtemos:

{x = 2x

{y = 2z

{z = 2y

{w = 2w.

Da primeira e da última condição, podemos afirmar que x e w são iguais a zero.

Se y = 2z, então:

z = 2.2z

z = 4z

4z - z = 0

3z = 0

z = 0 e, consequentemente, y = 0.

Portanto, a matriz A é a matriz nula, ou seja, $A=\left[\begin{array}{ccc}0&0\\0&0\end{array}\right]$.

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