Question

09. (FUVEST) A soma dos quadrados de dois números positivos é 4 e a soma dos inversos de seus quadrados é 1. Determine:

a) O produto dos dois números.
b) A soma dos dois números.

por favor explicar o inverso de seus quadrados

Answer 1

É uma questão de sistemas:

x^2+y^2 = 4

1/X^2 + 1/y^2 = 1
(o inverso de um número(n) é 1/n, então o inverso  do quadrado é 1/n^2)

x^2= 4 - y^2, substituindo na equação 2:

1/(4-y^2) + 1/y^2 = 1 fazendo o mmc ( (4-y^2).(y^2) )

resulta em uma equação de grau 4:

- y^4 + 4y^2 - 4 = 0

fazendo a mudança de variável: y^2 = x e substituindo:

-x^2 + 4x - 4=0 
Delta= 0

X1=X2 = 2 então

y^2 = 2

substituindo na primeira equação para achar x^2:

2 + x^2 = 4

X^2 = 2

a) 2.2 = 4
b) 2+2 = 4

Espero ter ajudado !

Answer 2

Resposta:

a) 2

b) $2\sqrt{2}$

Explicação passo a passo:

Vamos chamar os dois números de "x" e "y".

O enunciado diz que a soma dos quadrados é 4.

Ou seja: 1) x² + y² = 4 [cuidado para não confundir com o quadrado da soma, que seria (x+y)²] ;

e que a soma dos inversos de seus quadrados é 1.

O inverso de um númeroé trazer o seu denominador para o numerador, e o numerador para o denominador. O quadrado do inverso é elevar tanto o denominador quanto o numerador ao quadrado.

x, no caso, ao quadrado é x² e o inverso disso é 1/x²   ($\frac{1}{x^{2} }$)

2) Ou seja: 1/x² + 1/y² = 1

a) produto dos dois números:

$\frac{1}{x^{2} } +\frac{1}{y^{2} }=1 \\\\\frac{1.y^{2} +1.x^{2}}{x^{2} .y^{2} } =1\\\\\frac{y^{2} +x^{2} }{x^{2} .y^{2} } =1$

O enunciado nos deu o valor de x²+y² = 4, substituindo:

$\frac{4}{x^{2} .y^{2} } =1$

Passa o denominador multiplicando para o outro lado:

$4=x^{2} .y^{2}$

Como são números positivos, podemos simplificar os dois lados pela raiz quadrada:

$\sqrt{4} =\sqrt{x^{2} .y^{2} } \\2= x.y\\x.y=2$

Chegamos a resposta. xy=2

b) a soma dos dois números

Vou chamar a soma de $s$

Então: $s = x+y$

Aqui é a "sacada"... Como temos os valores para a soma dos quadrados e para o produto, vamos elevar os dois lados ao quadrado:

$s^{2} =(x+y)^{2} \\s^2 = x^2+2.x.y+y^2\\s^2=x^2+2xy+y^$

Reorganizando:

$s^2=x^2+y^2+2.xy$

Do enunciado tiramos o valor de x²+y² = 4; e da resposta do a) que xy = 2. Então:

$s^2 = 4+2.2\\s^2 = 4+4\\s^2=8$

Agora para achar somente a soma ($s$), tiramos a raiz dos dois lados da equação:

$\sqrt{s^{2} }=\sqrt{8}\\s=\sqrt{4.2}\\s=\sqrt{2^{2}.2} \\s=2\sqrt{2}$

Chegamos a resposta. $s=2\sqrt{2}$