09. (FUVEST) A soma dos quadrados de dois números positivos é 4 e a soma dos inversos de seus quadrados é 1. Determine:
a) O produto dos dois números.
b) A soma dos dois números.
por favor explicar o inverso de seus quadrados
Respostas
x^2+y^2 = 4
1/X^2 + 1/y^2 = 1
(o inverso de um número(n) é 1/n, então o inverso do quadrado é 1/n^2)
x^2= 4 - y^2, substituindo na equação 2:
1/(4-y^2) + 1/y^2 = 1 fazendo o mmc ( (4-y^2).(y^2) )
resulta em uma equação de grau 4:
- y^4 + 4y^2 - 4 = 0
fazendo a mudança de variável: y^2 = x e substituindo:
-x^2 + 4x - 4=0
Delta= 0
X1=X2 = 2 então
y^2 = 2
substituindo na primeira equação para achar x^2:
2 + x^2 = 4
X^2 = 2
a) 2.2 = 4
b) 2+2 = 4
Espero ter ajudado !
Resposta:
a) 2
b)
Explicação passo a passo:
Vamos chamar os dois números de "x" e "y".
O enunciado diz que a soma dos quadrados é 4.
Ou seja: 1) x² + y² = 4 [cuidado para não confundir com o quadrado da soma, que seria (x+y)²] ;
e que a soma dos inversos de seus quadrados é 1.
O inverso de um númeroé trazer o seu denominador para o numerador, e o numerador para o denominador. O quadrado do inverso é elevar tanto o denominador quanto o numerador ao quadrado.
x, no caso, ao quadrado é x² e o inverso disso é 1/x² ()
2) Ou seja: 1/x² + 1/y² = 1
a) produto dos dois números:
O enunciado nos deu o valor de x²+y² = 4, substituindo:
Passa o denominador multiplicando para o outro lado:
Como são números positivos, podemos simplificar os dois lados pela raiz quadrada:
Chegamos a resposta. xy=2
b) a soma dos dois números
Vou chamar a soma de
Então:
Aqui é a "sacada"... Como temos os valores para a soma dos quadrados e para o produto, vamos elevar os dois lados ao quadrado:
Reorganizando:
Do enunciado tiramos o valor de x²+y² = 4; e da resposta do a) que xy = 2. Então:
Agora para achar somente a soma (), tiramos a raiz dos dois lados da equação:
Chegamos a resposta.