Question

Calcule a derivada direcional do campo escalar f(x,y) = 3x² + xy no ponto P(1,2) e direção do vetor V = (1,2).

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a derivada direcional da referida função polinomial a partir do ponto "P" na direção do versor de "v" é:

                     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf D_{\hat{v}} f(1, 2) = 2\sqrt{5}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

                          $\Large\begin{cases} f(x, y) = 3x^{2} + xy\\P(1, 2)\\\vec{v} = (1, 2)\end{cases}$

Para calcularmos a derivada direcional da função a partir do ponto "P" na direção do vetor "v", devemos realizar os seguintes passos:

• Calcular o vetor gradiente da função.

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(x, y) = \langle f_{x}(x, y),\,f_{y}(x, y)\rangle\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (2\cdot3\cdot x + y)\,\vec{i} + (x)\,\vec{j} \end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (6x + y)\,\vec{i} + x\,\vec{j}\end{gathered}$

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:\vec{\nabla} f(x, y) = (6x + y, x)\end{gathered}$

• Obter o vetor gradiente da função aplicado ao ponto "P".

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(1, 2) = (6\cdot1 + 2, 1) = (8, 1)\end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:\vec{\nabla} f(1, 2) = (8, 1)\end{gathered}$

• Calcular o versor do vetor "v".                              

                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \hat{v} = \frac{\vec{v}}{\parallel \vec{v}\parallel}\end{gathered} }$

                       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{(1, 2)}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} }}\end{gathered} }$  

                       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \bigg(\frac{1}{\sqrt{5}},\,\frac{2}{\sqrt{5}}\bigg)\end{gathered} }$

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \therefore\:\:\:\hat{v}= \bigg(\frac{1}{\sqrt{5}},\,\frac{2}{\sqrt{5}}\bigg)\end{gathered} }$

• Obter a derivada direcional da função a partir do ponto "P" na direção do versor de "v".

        Observe que a derivada direcional pode ser calculada a partir do produto escalar entre o vetor gradiente aplicado ao ponto "P" com o versor de "v", ou seja:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} D_{\hat{v}} f(x, y) = \vec{\nabla} f(x, y)\cdot \hat{v}\end{gathered} }$

        Substituindo os dados na equação "I", temos:

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} D_{\hat{v}} f(1, 2) = \vec{\nabla} f(1, 2)\cdot\hat{v}\end{gathered} }$

                                     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = (8, 1)\cdot\bigg(\frac{1}{\sqrt{5}},\,\frac{2}{\sqrt{5}}\bigg)\end{gathered} }$

                                      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = 8\cdot\frac{1}{\sqrt{5}} + 1\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}\end{gathered} }$

                                      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{8}{\sqrt{5}} + \frac{2}{\sqrt{5}} \end{gathered} }$

                                      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{10}{\sqrt{5}}\end{gathered} }$

                                      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{10}{\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\end{gathered} }$

                                      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{10\sqrt{5}}{5}\end{gathered} }$

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 2\sqrt{5}\end{gathered}$

✅ Portanto, a derivada direcional procurada é:

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} D_{\hat{v}} f(1, 2) = 2\sqrt{5}\end{gathered} }$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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