Question

determine a equaçao da reta r que passa pelo ponto q(6,3) e forma um angulo de 45° com a reta (S)-3x+4y+6=0

Answer 1

Olá, Larinha.

Vamos reescrever a reta s para verificar qual é o seu coeficiente angular:

$-3x+4y+6=0 \Rightarrow 4y=3x-5 \Rightarrow y=\frac34x-\frac54 \Rightarrow \\\\ m_s=\frac34$

Como a reta s forma um ângulo de 45º com a reta r e conhecemos o coeficiente angular da reta s, podemos então calcular qual é o coeficiente angular da reta r:

$\tan45\º=\left|\frac{m_s-m_r}{1+m_s\cdot m_r}\right| \Rightarrow 1=\left|\frac{\frac34-m_r}{1+\frac34\cdot m_r}\right| \Rightarrow \frac{\frac34-m_r}{1+\frac34\cdot m_r}=\pm1 \Rightarrow \\\\ \begin{cases} \frac{\frac34-m_r}{1+\frac34\cdot m_r}=1\Rightarrow \frac34-m_r=1+\frac34\cdot m_r \Rightarrow \frac74m_r=-\frac14\Rightarrow m_r=-\frac17\\\\ \frac{\frac34-m_r}{1+\frac34\cdot m_r}=-1\Rightarrow \frac34-m_r=-1-\frac34\cdot m_r \Rightarrow \frac14m_r=\frac74\Rightarrow m_r=7\end{cases}$

Obtidos os dois coeficientes angulares possíveis da reta r, vamos determinar agora os dois possíveis coeficientes lineares, substituindo o ponto (6,3) nas equações alternativas das retas:

$y=m_rx+p \Rightarrow \\\\ \begin{cases} 3=-\frac17\cdot 6+p \Rightarrow p=3+\frac67=\frac{21+6}7=\frac{27}7\\ 3=7\cdot6+p \Rightarrow p=3-42=-39 \end{cases}$

As equações das retas que passam pelo ponto (6,3) e fazem ângulo de 45º com a reta s são, portanto:

$\begin{cases} y=-\frac{x}7+\frac{27}7\text{ ou }x+7y-27=0\\\\y=7x-39\text{ ou }-7x+y+39=0 \end{cases}$