Question

O valor maximo da função f( x, y) = x y, sujeita a restrição $2x^{2} + y^{2} =16$ é, aproximadamente;

a) 6,25


b) 7,00


c) 5,66


d) 3,75


e) 4,32

Answer 1

Ola Joao

2x² + y² = 16 (equação de uma elipse)

y = √(16 - 2x²)

f(x,y) = xy é uma curva de nível 

xy = k, sendo k uma constante que vamos determinar.

y = k/x

Substituindo na equação da elipse

k/x = √(16 - 2x²)

k²/x² = 16 - 2x²

k² = 16x² - 2x⁴

2x⁴ + 16x² - k² = 0
O valor máximo é quando a curva de nível

xy = k

tangencia a elipse, e para que isso ocorra, o discriminante

Δ = 0


Δ = 16² - 4 . 2 . k²
Δ = 4 . 64 - 4 . 2 . k²

Δ = 4 . (64 - 2 . k²)
4 . (64 - 2 . k²) = 0

2k² = 64

k² = 64/2

k² = 32

k = ± 4√2

como você pede o valor máximo da função f(x,y) = k
 
k = + 4√2 = + 5.66