Question

Uma pirâmide hexagonal regular de lado 8 cm possui apótema com 10 cm. Calcule a área total e o volume dessa pirâmide

Answer 1

Uma piramide hexagonal tem como sua base um hexaedro, 6 triângulos equiláteros.
Sua área é igual à soma da área da sua base mais a área lateral.
O seu volume é igual à área da base vezes a altura dividido por 3.
VAMOS AOS CÁLCULOS!!
Área da Base de 6 triângulos equiláteros: $\frac{L^{2} \sqrt{3}}{4}$
$\frac{6.8^{2} \sqrt{3}}{4} \\ \frac{6.16 \sqrt{3}} \\ 96 \sqrt{3}$

Área Lateral = $\frac{6L.Ap}{2} \\ \frac{6.8.10}{2} =240$

Área Total = Área da Base + Área Lateral
Área Total = 96√3 + 240

Volume = $\frac{Abase . H}{3} \\ Se o apotema e \frac{1}{3}.H \\ Entao: 10 = \frac{1}{3} H \\ H = 30$

Volume: $\frac{96 \sqrt{3} .10}{3} \\ \frac{960 \sqrt{3}}{3} \\ 320 \sqrt{3}$

Answer 2

Como a base é um hexágono regular, a fórmula para calcular sua área é:

$\boxed{A_b=\frac{6l^2\sqrt{3}}{4}}$

$A_b=\frac{6*8^2\sqrt{3}}{4}\\\\ A_b=\frac{6*64\sqrt{3}}{4}\\\\ A_b=\frac{384\sqrt{3}}{4}\\\\ \boxed{A_b=96\sqrt{3}\ cm^2}$

A área lateral é a soma das áreas das 6 faces da pirâmide. Cada face é a área de um triângulo, onde a base vale 8 cm e a altura 10 cm.

$\boxed{A_l=6A_f}\\\\ A_l = 6(\frac{8*10}{2})\\\\ A_l=6*(\frac{80}{2})\\\\ \boxed{A_l=240\ cm^2}$

Área total

$\boxed{A_t=A_b+A_l}\\\\ A_t=96\sqrt{3}+240\\\\ \boxed{A_t=48(2\sqrt{3}+5)\ cm^2}$

Volume é calculado por:

$\boxed{V=\frac{A_b*h}{3}}$

Não temos a altura, mas podemos encontrá-la. A altura, a altura de um triângulo equilatero da base e o apótema da pirâmide formam um triângulo retângulo, cuja hipotenusa é o apótema da pirâmide.

Primeiro, vamos encontrar a altura do triângulo equilátero:

$\boxed{h=\frac{l\sqrt{3}}{2}}\\\\ h=\frac{8\sqrt{3}}{2}\\\\ \boxed{l=4\sqrt{3}\ cm}$

Agora, vamos encontrar a altura da pirâmide

$10^2=(4\sqrt{3})^2+H^2\\\\ 100 = 52+H^2\\\\ H^2=52\\\\ \boxed{H=2\sqrt{13}\ cm}$

Agora voltamos no volume

$V=\frac{96\sqrt{3}*2\sqrt{13}}{3}\\\\ \boxed{V = 64\sqrt{39}\ cm^3}$