Question

Suponha que a temperatura de cada ponto (x,y) do plano xy seja dada pela função T(x, y) = 40 − x2 − 2y2 , onde T é medido em oC e x e y em km. Um indivíduo encontra-se na posição (3, 2) e pretende dar um passeio pelo plano. Indique a direção e o sentido que ele deverá tomar de modo que o crescimento da temperatura seja maximo

Answer 1

O crescimento de uma função é máximo na direção que aponta o covetor gradiente.

grad( T(x,y) ) = [ 2x , 4y]

no ponto P0 = (3,2) = (x0, y0)

de forma que

grad( T(x0,y0) ) = [ 2*x0 , 4*y0] = [ 6 , 8]

Ele deverá caminhar na direção [ 6 , 8] => que é equivalente à [3 , 4] em unidades de km
você também pode dizer que a inclinação com relação ao eixo x é de theta = arctg(4/3) =~ 53,13 graus.

O valor do crescimento é dado pela norma do gradiente:

norm ( grad( T(x0,y0) ) ) ^2 = 6^2 + 8^2 = 100

norm ( grad( T(x0,y0) ) ) = 10, em unidades de grau Celsius.