Question

A frente de um prédio comercial de 15 andares possui 45 janelas idênticas, cada uma correspondendo a uma sala comercial, como mostra a figura ao lado. De madrugaada, o porteiro do prédio verificou, no seu painel de controle, que em seis salas da frente as luzes haviam ficado acesas.

a)Determine o número de maneiras distintas de se ter seis salas acesas.
b)Determine o número de maneiras distintas de se ter seis salas acesas, sendo três em um andar e três em outro andar.
c)detremine o número de maneiras distintas de se ter seis salas acesas, sendo duas em um andar, duas em outro e duas em um andar diferente dos anteriores.

Answer 1

a) Você quer que 6 luzes fiquem acesas entre 45, independentemente da ordem (se ficar a,b,c,d,e e f acesas ou f,d,e,c,b,a vão ser as mesmas janelas), ou seja, queremos uma combinação de 45 elementos tomados 6 a 6:
C45,6 = 45.44.43.42.41.40/6.5.4.3.2.1 = 8145060 maneiras.

b) Bom, temos 45/15 = 3 janelas por andar.
Temos obrigatoriamente que ter 3 acesas em um andar e 3 em outro, de um total de 3 em cada andar. Pensando no primeiro, combinando 3 janelas 3 a 3, só existe uma possibilidade. Isso acontece em todos os andares. Bom, existem outros 14 andares. Então são 1. 14 possibilidades aí pro primeiro andar. Mas pra cada um dos outros existem mais 14 possibilidades, mas se a gente pegar o primeiro e o terceiro ou o terceiro e o primeiro, dá no mesmo, então temos que tirar a repetição. É combinação de novo. Vamos selecionar 2 andares desses 15:
C15,2 = 15.14/2.1 = 15.7 = 105 possibilidades.

c) Bom, agora são 2 luzes acesas por andar, em 3 andares diferentes. Em Um andar temos 3 salas, e precisamos selecionar 2. C3,2 = 3.2.1/2.1 = 3 maneiras de ter 2 luzes acesas em cada andar. Agora precisamos pegar 3 andares em 15. C15,3 = 15.14.13/3.2.1 = 5.7.13 = 455 maneiras. 
455 x 3 = 1365 maneiras.