Question

Resolva as inequações, no conjunto dos números reais..
Gente por favor quem puder me ajudar, tem haver com propiedades de potência..

Answer 1

E aí mano,

dadas as desigualdades é bom lembrar que quando a base de uma inequação exponencial está compreendida entre 0 e 1, devemos inverter o seu sinal. Vamos relembrar algumas das propriedades da exponenciação, pois vamos utilizar agora:

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$a^m*a^n~\to~a^{m+n}\\\\ \dfrac{1}{a}~\to~ \dfrac{1}{a^1}~\to~a^{-1}\\\\\\ (a^m)^n~\to~a^{m*n}~\to~a^{mn}$

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$\left( \dfrac{1}{8}\right)^{2x-5} \leq ~~\left( \dfrac{1}{4}\right)^{x+1}\\\\\\ \left( \dfrac{1}{2^3}\right)^{2x-5} \leq ~~\left( \dfrac{1}{2^2}\right)^{x+1}\\\\\\ (2^{-3})^{2x-5} \geq ~~(2^{-2})^{x+1}\\\\ \not2^{-6x+15} \geq ~~\not2^{-2x-2}\\\\ -6x+15 \geq -2x-2\\ 15 +2\geq-2x+6x\\ 17 \geq 4x\\\\ x \geq \dfrac{17}{4}\\\\\\ \boxed{S=\left\{x\in~\mathbb{R}~|~x \geq \dfrac{17}{4}\right\}}$

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$( \sqrt{3})^{ x^{2} -3x} \geq ( \sqrt{3})^{4}~~~(bases~iguais~eliminamos)\\\\ x^{2} -3x \geq 4\\ x^{2} -3x-4 \geq 0\\\\ \Delta=(-3)^2-4*1*(-4)\\ \Delta=9+16\\ \Delta=25\\\\ x \geq \dfrac{-(-3)\pm \sqrt{25} }{2*1} \geq \dfrac{3\pm5}{2} \geq \begin{cases}x' \geq \dfrac{3-5}{2} \geq \dfrac{-2}{~~2} \geq -1\\\\ x'' \geq \dfrac{3+5}{2} \geq \dfrac{8}{2} \geq 4 \end{cases}\\\\\\ \boxed{S=\left\{x\in~\mathbb{R}~|~4 \leq x \geq -1\right\}}$

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$5^{2x}<-5+6*5^x\\ (5^x)^2-6*5^x+5<0\\\\ 5^x=k,~substitua:\\\\ k^2-6k+5<0\\\\ \Delta=(-6)^2-4*1*5\\ \Delta=36-20\\ \Delta=16\\\\ k< \dfrac{-(-6)\pm \sqrt{16} }{2*1}< \dfrac{6\pm4}{2}<\begin{cases} k'<\dfrac{6-4}{2}< \dfrac{2}{2}<1\\\\ k''< \dfrac{6+4}{2}< \dfrac{10}{2}<5 \end{cases}$

Retomando a variável original, teremos:

$5^x<1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~5^x<5\\ \not5^x<\not5^0~~~~~~~~~~~~~~~~~~\not5^x<\not5^1\\\\ x<0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x<1\\\\\\ \boxed{S=\{x\in~\mathbb{R}~|~0>x<1\}}$

Tenha ótimos estudos =))