Question

Um projétil é lançado do solo sob um ângulo de 60° com a horizontal e com a velocidade inicial de 50m/s. Dados: sen60°=0,8, cos60°=0,5 e g=10m/s²

a) a altura máxima alcançada :

b) o alcance:

Answer 1

Para realizar o cálculo da altura máxima vamos considerar apenas a componente "y" (↑) e realizar o cálculo como se fosse um lançamento vertical, começamos descobrindo o tempo de subida (lembrando que no ponto mais alto a velocidade Vy vai a zero):

$\fbox{ Vy=V_{0}y-gt }\\\\0=50\cdot sen60^\circ-10t\\\\0=50\cdot0,8-10t\\\\0=40-10t\\\\-40=-10t\\\\t=\dfrac{-40}{-10}\\\\t=4~segundos$

$\fbox{ H_{m\'ax}=V_0y\cdot t-\dfrac{gt^2}{2} }\\\\\\H_{m\'ax}=40\cdot4-\dfrac{10\cdot4^2}{2}\\\\\\H_{m\a'x}=160-\dfrac{10\cdot16}{2}\\\\\\H_{m\'ax}=160-\dfrac{160}{2}\\\\\\H_{m\'ax}=160-80\\\\H_{m\'ax}=80~metros$

Para o alcance máximo vamos levar em consideração a componente x (→) e ter em mente que o tempo de lançamento é igual ao tempo de subida mais o tempo de descida, mas como esses tempos são iguais (no caso de se desprezar os atritos) podemos dizer o tempo de lançamento é igual a duas vezes o tempo de subida.

$T_{lan\c{c}amento}=T_{subida}+T_{descida}~\Rightarrow~2\cdot T_{subida}~\Rightarrow~2\cdot4=8~segundos\\\\\\\fbox{ Alcance=V_0x\cdot T }\\\\\\A=50\cdot cos60^\circ\cdot8\\\\A=50\cdot\dfrac{1}{2}\cdot8\\\\\\A=\dfrac{50}{2}\cdot8\\\\\\A=\dfrac{400}{2}\\\\\\A=200~metros$

Answer 2

Resposta:

Δs = 80 metros de altura máxima

Δs = 200 metros de alcance horizontal

Explicação:

1) Visão geral:

Quando um projétil é lançado com um ângulo, existem dois movimentos diferentes que devem ser decompostos e trabalhados separadamente como se fossem vetores. Portanto, deve-se decompor o movimento nas suas componentes vertical e horizontal, sendo que o horizontal é um movimento uniforme (MU) e o vertical está sujeito à gravidade.

Quando um corpo está sujeito a uma aceleração constante, ele está em Movimento Uniformemente variável (MUV). O enunciado não afirma, mas supõe-se que a pedra está sujeita unicamente à aceleração da gravidade (a = g = 10 m/s²), sendo um caso clássico de MUV.

2) Decompondo:

A velocidade de 50 m/s deve ser vista como a hipotenusa de um triângulo que faz 60º com o cateto adjacente. Assim, calcula-se as velocidades iniciais x e y, separadamente:

Vx = V₀.Cos60º

Vx = 50.0,5

Vx = 25 m/s

Vy = V₀.Sen60º

Vy = 50.0,8

Vy = 40 m/s

3) No MUV:

Quando tem-se um caso clássico de MUV, deve-se utilizar uma das 4 possíveis fórmulas, que são:

Torricelli:  v² = V₀² + 2.a.Δs

Equação do espaço: S = S₀ + V₀.t + (a.t²).1/2

Derivada da velocidade: V = V₀ + a.t

Igualdade de velocidade : Δs/t = (V + V₀)/2

Cada fórmula deve ser utilizada em uma situação diferente. Geralmente, o enunciado fornece três informações e exige uma quarta informação, daí vê-se qual fórmulas tem as 4 variáveis envolvidas juntas em uma única fórmula.

Sabendo que

• na altura máxima a velocidade final = 0 (o projétil entra em repouso verticalmente antes iniciar o movimento de queda)
• com o movimento contra a gravidade, a = g = -10 m/s²
• a velocidade vertical inicial (Vy) = 40 m/s

Neste caso especificamente, busca-se a altura máxima (Δs), portanto a fórmula usada deve ser v² = V₀² + 2.a.Δs

0² = 40² +2.-10.Δs

0 = 1600 - 20Δs

Δs = 1600/20

Δs = 80 metros de altura máxima

4) No MU:

O movimento horizontal é uniforme. Isso quer dizer que a velocidade se mantém a 25 m/s o tempo todo. Portanto, para saber o alcance máximo, deve-se saber quanto tempo o projétil passou no ar aplicar esse tempo à velocidade horizontal.

Para tanto, deve-se utiliza uma fórmula de MUV que tenha tempo para encontrar o tempo de subida.

Depois, deve-se multiplicar por 2, pois o tempo de subida é o mesmo de descida.

A fórmula que envolve o as variáveis do enunciado + tempo é V = V₀ + a.t

0 = 40 - 10.t

10t = 40

t = 4s

Ou seja, leva 4 segundos para atingir altura máxima. Portanto, 8 segundos no ar.

Sendo Vm = Δs/Δt

25 = Δs/8

Δs = 200 metros de alcance horizontal

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