Question

O ponto P (0,2) é a projeção ortogonal do ponto A( 2, -1) sobre a reta r. Uma equação de r é:
a) 3x + 2y +4 =0
b) 3x + 2y - 4 =0
c) 2x - 3y + 6 = 0
d) 2x + 3y - 6 = 0
e) x - y + 2= 0

Answer 1

Para o ponto P pertencente à reta r ser a projeção ortogonal do ponto A, então o ponto A deve pertencer a uma reta s que passa pelos pontos P e A e é perpendicular à reta r intersectando-a no ponto P.

Assim, primeiramente vamos achar o coeficiente angular m da reta s que passa pelos pontos P e A:

$m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\Rightarrow m=\dfrac{2-(-1)}{0-2}\Rightarrow m=\dfrac{3}{-2}\Rightarrow m=-\dfrac{3}{2}$

Portanto, o coeficiente angular da reta s que passa pela reta r é m = -3/2.
E como as retas são perpendiculares, então o coeficiente angular de uma é igual ao oposto do inverso do coeficiente angular da outra.

Dessa forma, o coeficiente angular da reta r é m = 2/3.

Como agora sabemos o coeficiente angular da reta r e também que ela passa pelo ponto P(0, 2), então vamos encontrar sua equação:

$y - y_{0} = m(x - x_{0})\\ \\ \\ y - 2=\dfrac{2}{3}(x-0)\\ \\ \\ y-2=\dfrac{2x}{3}-0\\ \\ \\ \dfrac{2x}{3}-y+2=0\\ \\ \\ 2x-3y+6=0$

Portanto, a equação da reta r é 2x - 3y + 6 = 0 e a resposta é a letra c.