Question

a soma dos 10 primeiros termos de uma P.A. é 185 e a soma dos 12 primeiros é 258 determine o primeiro termo e a razao dessa P.A.

Answer 1

Olá,

vamos montar um sistema de equações do 1° grau, com a fórmula da soma dos termos finitos:

$\begin{cases}\mathsf{ \dfrac{(a_1+a_{10})\cdot10}{2} =185~~(i)}\\\\ \mathsf{ \dfrac{(a_1+a_{12})\cdot12}{2}=258~~(ii) }\end{cases}\\\\\\ \begin{cases}\mathsf{[a_1+(a_1+9r)]\cdot 5=185~~(i)}\\ \mathsf{[a_1+(a_1+11r)]\cdot6=258~~(ii) }\end{cases}\\\\\\ \begin{cases}\mathsf{2a_1+9r= \dfrac{185}{5} ~~(i)}\\\\ \mathsf{2a_1+11r= \dfrac{258}{6} ~~(ii) }\end{cases}$

$\begin{cases}\mathsf{2a_1+9r =37~~(i)~~(multiplique~esta~eq.~por~-1)}\\ \mathsf{2a_1+11r=43~~(ii)~(E~some~com~essa) }\end{cases}\\\\\\ \begin{cases}\mathsf{-2a_1-9r =-37~~(i)}\\ \mathsf{~~2a_1+11r=43~~(ii)}\end{cases}\\ ~~~~-------\\ ~~~~~~~~~~~~~~\mathsf{2r~=6}\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~\mathsf{r= \dfrac{6}{2} }\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~\mathsf{r=3}$

Observe que já encontramos a razão, vamos achar o primeiro termo, usando uma das equações, vamos pela 1a:

$\mathsf{2a_1+9r=37}\\ \mathsf{2a_1+9\cdot3=37}\\ \mathsf{2a_1+27=37}\\ \mathsf{2a_1=37-27}\\ \mathsf{2a_1=10}\\\\ \mathsf{a_1= \dfrac{10}{2} }\\\\ \mathsf{a_1=5}$

Portanto:

$\Large\boxed{\mathsf{Primeiro ~termo~a_1=5~~e~~Razao~r=3}}$

Tenha ótimos estudos ;D