Question

Calcule o determinante da matriz utilizando a 3° linha aplicando lapace

1 -2 3
0 4 2
4 3 7

Answer 1

Dada uma matriz $\mathbf{A}=(a_{ij})_{3\times 3}$

$\mathbf{A}=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix}$


podemos calcular o determinante dessa matriz usando usando o Teorema de Laplace pela 3ª linha:

$\det\mathbf{A}=a_{31}\cdot \begin{vmatrix} a_{12}&a_{13}\\ a_{22}&a_{33} \end{vmatrix}-a_{32}\cdot \begin{vmatrix} a_{11}&a_{13}\\ a_{21}&a_{23} \end{vmatrix}+a_{33}\cdot \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{vmatrix}$


Veja que para cada elemento da 3ª linha, resta calcular o determinante da matriz menor formada pelos elementos que sobraram ao se eliminar a linha e a coluna correspondente àquele elemento.


O 2º termo da soma do determinante aparece com sinal negativo, pois é correspondente ao elemento $a_{32},$ e para este elemento, a soma dos índices da linha e da coluna é um número ímpar:

$3+2=5$

___________


Para a matriz dada,

$\mathbf{A}=\begin{bmatrix} 1&-2&3\\ 0&4&2\\ 4&3&7 \end{bmatrix}$


Usando Laplace pela 3ª linha,

$\det \mathbf{A}=4\cdot \begin{vmatrix} -2&3\\4&2 \end{vmatrix}-3\cdot \begin{vmatrix} 1&3\\0&2 \end{vmatrix}+7\cdot \begin{vmatrix} 1&-2\\0&4 \end{vmatrix}\\\\\\ \det \mathbf{A}=4\cdot (-2\cdot 2-4\cdot 3)-3\cdot (1\cdot 2-0\cdot 3)+7\cdot (1\cdot 4-0\cdot (-2))\\\\ \det \mathbf{A}=4\cdot (-4-12)-3\cdot (2-0)+7\cdot (4+0)\\\\ \det \mathbf{A}=4\cdot (-16)-3\cdot 2+7\cdot 4\\\\ \det \mathbf{A}=-64-6+28\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\det \mathbf{A}=-42 \end{array}}\qquad\quad\checkmark$


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