Question

Para que o polimonio x5+2x4+kx3-3x2+4 seja divisivel pelo binômio D(x)=x+2, o valor k deve ser igual a:

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Dinhausp, que a resolução é simples.
Pede-se para determinar o valor de "k" para que o polinômio P(x) abaixo seja divisível por D(x) = x+2:

P(x) = x⁵ + 2x⁴ + kx³ - 3x² + 4 .

Agora veja: se o polinômio P(x) acima for divisível por D(x) = x+2, então ele será divisível por (-2), pois x+2 = 0 ---> x = - 2, ou seja, "-2" será uma raiz do polinômio P(x).

Agora note isto que é importante: se "-2" é uma raiz do polinômio P(x), então quando substituirmos o "x" por "-2" deveremos igualar P(x) a zero, pois toda raiz zera a equação da qual ela é raiz.
Então vamos substituir o "x" de P(x) por "-2", com o que ficaremos assim:

P(-2) = (-2)⁵ + 2*(-2)⁴ + k*(-2)³ - 3*(-2)² + 4
P(-2) = - 32 + 2*16 + k*(-8) - 3*4 + 4
P(-2) = - 32 + 32 - 8k - 12 + 4 ------ mas P(-2) = 0, pois deveremos igualar P(x) a zero quando "x" for igual a "-2" (que é uma raiz de P(x) ). Assim:

0 = -32 + 32 - 8k - 12 + 4 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
0 = - 8 - 8k ----- passando "-8k" para o 1º membro, teremos:
8k = - 8
k = - 8/8
k = -1 <---Pronto.Esta é a resposta, "k" deverá ser igual a "-1" para que o polinômio P(x) seja divisível por D(x).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.