Question

determine o conjunto soluçao da equaçao 2^1+x +2^1+2x +2^1+3x +...=2\3. Na qual o primeiro membro é a soma dos termos de uma P.G infinita..

Answer 1

Olá Shirley,

pelos dados da P.G. infinita, temos que:

$\begin{cases}a_1=2^{1+x}\\ q= \dfrac{a_2}{a_1}\therefore q= \dfrac{2^{1+2x}}{2^{1+x}}\therefore q=2^{1+2x}*2^{-1-x}\therefore q=2^{1-1+2x-x}\therefore q=2^x\\ S\infty= \dfrac{2}{3}\end{cases}$

Sabendo-se disso, vamos substituir esses dados na fórmula da soma dos n infinitos termos da P.G. e acharmos x:

$S_n= \dfrac{a_1}{1-q}~~~\to~ \dfrac{2}{3}= \dfrac{2^{1+x}}{1-2^x}~~~\to~ \dfrac{2^1*2^x}{1-2^x}= \dfrac{2}{3}~~~\to~ \dfrac{2*2^x}{1-2^x}= \dfrac{2}{3}$

Usando uma variável auxiliar, fazendo    $2^x=k$    , podemos fazer:

$\dfrac{2*k}{1-k}= \dfrac{2}{3}~~~\to~ \dfrac{2k}{1-k}= \dfrac{2}{3}$

Multiplicando cruzado, teremos:

$2k*3=2(1-k)\\ 6k=2-2k\\ 6k+2k=2\\ 8k=2\\\\ k= \dfrac{2}{8}= \dfrac{2:2}{8:2}= \dfrac{1}{4}$

Retomando a variável original, aí obteremos x igual a:

$2^x=k\\\\ 2^x= \dfrac{1}{4}\\\\ 2^x=2^{-2}\\ \not2^x=\not2^{-2}\\\\ x=-2$

Tenha ótimos estudos =))