Question

Esboce o gráfico da função:
A) y = 3 sen (2 x) -1
B) y= x^4 - 4x³ + 8x.
Indicando os pontos de intersecção com os eixos x e y.

Answer 1

a) f(x) = 3 sen (2x) - 1

Valor máximo: (sen 2x = 1)

       Max = 3(1) -1 = $\boxed{Max = 2}$

Valor mínimo: (sen 2x = -1)

       Min = 3(-1) -1 = $\boxed{Min = - 4}$

Intercepto com o eixo y: (x = 0)

       $y_0 = 3(0) -1 = \boxed{y_{0} = -1}$

Intercepto com o eixo x: (y = 0)

Aqui eu plotei num gráfico a função [3 sen (2x) - 1]
        x ≈ 0,17 + kπ 
   ou x ≈ 0,40 + kπ

O período da função será:

$P_{(sen (nx))} = \frac{2\pi}{n} \\ P_{(sen (2x))} = \frac{2\pi}{2} = \boxed{\pi}$

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b) $g(x) = x^4 - 4x^3 + 8x$

Intercepto com o eixo y: (x = 0)

$g(x) = 0^4 - 4(0)^3 + 8(0) =\boxed{0}$


Interceptos com o eixo x: (y = 0)

$g(x) = 0 \\ x^4 - 4x^3 + 8x = 0 \\ x(x^3 - 4x^2 + 8) = 0 \\ \boxed{x_{1} = 0} \\ x^3 - 4x^2 + 8 = 0$

Numa pesquisa de raízes reais entre os divisores de 8 {1, -1, 2, -2, 4, -4, 8, -8} achamos:

$x^3 - 4x^2 + 8 = (x - 2)(x^2 - 2x - 4) \\ \boxed{x_{2} = 2} \\ \\ x^2 - 2x - 4 = 0 \\ \Delta = 4 - 4 (1)(-4) \\ \Delta =20 \Longrightarrow  \sqrt{\Delta} = {2\sqrt{5}$
 $x = \cfrac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x = 1 \pm \sqrt{5} \\ \\ \boxed{x_{3} = 1+\sqrt{5}} \\ \boxed{x_{4} = 1-\sqrt{5}}$
 
Como o coeficiente de [tex]x^4 [\tex] > 0, as extremidades do gráfico apontarão para cima. 

Esboços no anexo, não sei se o que fiz é o bastante mas espero ter ajudado :)