Question

Qual a inversa da função f(x)= ㏒ de 10 na base (x)

Answer 1

Encontrar a função inversa de

$\mathsf{f(x)=\ell og_x\,10}\\\\\\ \mathsf{f(x)=\dfrac{\ell og\,10}{\ell og\,x}}\\\\\\ \mathsf{f(x)=\dfrac{1}{\ell og\,x}}$


Primeiro vamos verificar qual é o domínio de $\mathsf{f:}$

•   A base do logaritmo deve ser positiva e diferente de 1:

$\mathsf{Dom(f)=A=\{x\in\mathbb{R}:~0<x<1~~ou~~x>1\}.}$


Se $\mathsf{f}$ for invertível então este também será o conjunto imagem da função inversa:

$\mathsf{Im(f^{-1})=A=\{y\in\mathbb{R}:~0<y<1~~ou~~y>1\}.}$


Sabemos que a composição de $\mathsf{f}$ com a sua inversa é a função identidade, isto é

$\mathsf{f\circ f^{-1}(x)=x}\\\\ \mathsf{f\big(f^{-1}(x)\big)=x}$


Se $\mathsf{f(x)=\dfrac{1}{\ell og\,x},}$ então

$\mathsf{f\big(f^{-1}(x)\big)=\dfrac{1}{\ell og\big(f^{-1}(x)\big)}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{1}{\ell og\big(f^{-1}(x)\big)}}\\\\\\ \mathsf{x\cdot \ell og\big(f^{-1}(x)\big)=1}\\\\\\ \mathsf{\ell og\big(f^{-1}(x)\big)=\dfrac{1}{x}}$


Tomando logaritmos de base 10 em ambos os lados, obtemos

$\mathsf{10^{\ell og(f^{-1}(x))}=10^{1/x}}\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{f^{-1}(x)=10^{1/x}} \end{array}}\qquad\quad\checkmark$


Para que $\mathsf{f^{-1}}$ esteja definida, basta termos

$\mathsf{x\ne 0}$


Então, o domínio da função inversa é

$\mathsf{Dom(f^{-1})=B=\mathbb{R}^*}$

________


Conclusão: para que $f$ assuma inversa, ela deve estar definida da seguinte forma:

$\begin{array}{llll} \mathsf{f:}&\mathsf{A}&\!\!\to\!\!&\mathbb{R}^*\\ &\mathsf{x}&\!\!\mapsto\!\!&\mathsf{\ell og_x\,10} \end{array}$


sendo

$\begin{array}{llll} \mathsf{A=\{x\in\mathbb{R}:~0<x<1~~ou~~x>1\}} \end{array}$


e a sua inversa é

$\begin{array}{llll} \mathsf{f^{-1}:}&\mathbb{R}^*&\!\!\to\!\!&\mathsf{A}\\ &\mathsf{x}&\!\!\mapsto\!\!&\mathsf{10^{1/x}} \end{array}$


Caso tenha problemas para visualizar a resposta, experimente abrir pelo navegador: http://brainly.com.br/tarefa/7885385


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)


Tags: função inversa logarítmica domínio conjunto imagem exponencial composta composição identidade álgebra