Question

Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 pentagonal e 2 hexagonais

Answer 1

Vamos lá.

Veja Gabi, que a resolução é simples.
Antes veja que a relação de Euler afirma o seguinte:

V + F = A + 2, em que "V" é o número de vértices, "F" é o número de faces e "A" é o número de arestas.

A sua questão pede o número de vértices de um poliedro convexo que tem 7 faces (pois já sabemos que são 3 faces triangulares + 1 face quadrangular + 1 face pentagonal + 2 faces hexagonais. Logo, o número de faces é: 3+1+1+2 = 7 faces). Então vamos na relação de Euler e vamos logo substituir "F" por "7", com o que ficaremos:

V + 7 = A + 2        . (I)

Agora note que as 3 faces triangulares + 1 face quadrangular + 1 face pentagonal + 2 faces hexagonais, vão gerar arestas em dobro.
Então, para saber o número exato de arestas, deveremos fazer isto (note que: para as 3 faces triangulares, teremos: 3*3; para a única face quadrangular, teremos: 1*4; para a única face pentagonal, teremos:1*5; e para as 2 faces pentagonais, teremos: 2*6):

2A = 3*3 + 1*4 + 1*5 + 2*6
2A = 9 + 4 + 5 + 12
2A = 30
A = 30/2
A = 15 <--- Este será o número exato de arestas.

Como já temos o número exato de arestas (que são 15), vamos agora voltar à relação de Euler, que havíamos deixado lá na expressão (I), e que é esta:

V + 7 = A + 2 ----- substituindo-se "A" por "15", teremos:

V + 7 = 15 + 2
V + 7 = 17
V = 17-7
V = 10 <--- Esta é a resposta. Este é o número pedido de vértices do poliedro da sua questão.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.