Question

1) resolva os sistemas de duas equações aplicando a regra de cramer
[2x-3y = - 5
{x +2y = 8


b) {3x-2y= 5
{2 + y =1

Answer 1

Resolvendo pela regra de Cramer:

Primeiro vamos reescrever o sistema em sua forma matricial

$\underbrace{ \begin{pmatrix}2~~~~-3\\1~~~~~~~2\end{pmatrix} }_{matriz~incompleta}\hspace{-5}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\hspace{-25}\underbrace{ \begin{pmatrix}-5\\~~8\end{pmatrix} }_{termos~independentes}$

Se o determinante da matriz incompleta (chamaremos a matriz incompleta de A) for diferente de zero o sistema possuirá solução única.

Calculemos seu determinante:

$det~A=\begin{vmatrix}2~~~~-3\\1~~~~~~~2\end{vmatrix}=2\cdot2-(-3\cdot1)=4+3=7 \neq 0$

Como o determinante de A é diferente de zero o sistema possui solução única. 

Para descobrir os valores de x e y é feito o seguinte:

Para descobrir x substitui-se a primeira coluna da matriz A pela coluna dos termos independentes, em seguida calcula-se o determinante da matriz obtida de A, feito isso nós dividimos esse determinante pelo determinante da matriz A, o resultado disso é o valor de x.

$\fbox{ x=\dfrac{det~A'}{det~A} }$

Para encontrar y seguimos o mesmo processo, mas ao invés de substituirmos a primeira coluna da matriz A pelos termos independentes, nós substituímos a segunda coluna.

$\fbox{ y=\dfrac{det~A''}{det~A} }$

Portanto, vamos descobrir x e y.

$x=\dfrac{det~A'}{det~A}\\\\\\det~A'=\begin{vmatrix}-5~~~~~-3\\~~8~~~~~~~~~2\end{vmatrix}=(-5\cdot2)-(8\cdot-3)=-10+24=14\\\\\\x=\dfrac{14}{7}=2\\\\\\\\ y=\dfrac{det~A''}{det~A}\\\\\\det~A''=\begin{vmatrix}2~~~~-5\\1~~~~~~~8\end{vmatrix}=2\cdot8-(-5\cdot1)=16+5=21\\\\\\y=\dfrac{21}{7}=3\\\\\\\\S=\begin{Bmatrix}x=2\\\\y=3\end.$


De modo análogo vamos resolver o segundo sistema:


$\underbrace{ \begin{pmatrix}3~~~~-2\\2~~~~~~~1\end{pmatrix} }_{A}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}\\\\\\\\det~A=\begin{vmatrix}3~~~~-2\\2~~~~~~~1\end{vmatrix}=3\cdot1-(-2\cdot2)=3+4=7 \neq 0\\\\\\\\x=\dfrac{det~A'}{det~A}\\\\\\\\det~A'=\begin{vmatrix}5~~~~-2\\1~~~~~~~1\end{vmatrix}=5\cdot1-(-2\cdot1)=5+2=7\\\\\\ x=\dfrac{7}{7}=1$


$y=\dfrac{det~A''}{det~A}\\\\\\\\det~A''=\begin{vmatrix}3~~~~5\\2~~~~1\end{vmatrix}=3\cdot1-5\cdot2=3-10=-7\\\\\\\\ y=\dfrac{-7}{~~7}=-1\\\\\\\\S=\begin{Bmatrix}x=1\\\\y=-1\end.$