Question

Determine me |R para que os pontos A(3,1), B(m,m) e C(1,m+1) coloque na condição de alinhamento

Answer 1

Para que três pontos estejam alinhados, precisa-se que pertençam a uma mesma reta.

Se os pontos pertencem a uma reta, o determinante será igual a zero. Portanto, podemos escrever que
$Det ~ \left[\begin{array}{ccc}3&1&1\\m&m&1\\1&m+1&1\end{array}\right] = 0$

Calculando o valor de m através do determinante:
$(3m+1+m^2+m)-(m+3m+3+m)= 0 \\ \\ (m^2+4m+1)- (5m+3)= 0 \\ \\ m^2+4m+1-5m-3= 0 \\ \\ m^2-m-2= 0$

*Caso tenha dúvida, olhe o anexo para conferir melhor como que se faz a multiplicação para determinantes.

Como resultou em uma equação do segundo grau, utilize o método que preferir. Irei fatorar para encontrar m. Perceba:
$m^2-m-2= 0 \\ \\ (m-2) \cdot (m+1)= 0 \\ \\ \\ \boxed{m= 2 ~~~~ ou ~~~~ m= -1}$