Question

Dividindo o trinômio x2 – x + 2 por x + 3a, obtém-se quociente x – b e resto 2a + 3b, com a e b inteiros. A soma desses valores inteiros de a e b é: 

Answer 1

Olá, Flpcds.

$x^2-x+2 = (x+3a)\cdot(x-b)+\underbrace{2a+3b}_{\text{resto}}=\\\\=x^2-bx+3ax-3ab+2a+3b=\\\\=x^2+(3a-b)x + 2a+3b-3ab \Rightarrow \\\\ \begin{cases} 3a-b=-1 \Rightarrow b=3a+1\\ 2a+3b-3ab=2 \end{cases}$

Substituindo o valor de  $b$  na segunda equação,temos:

$2a + 3(3a+1)-3a(3a+1)=2 \Rightarrow 2a+9a+3-9a^2-3a-2=0 \Rightarrow \\\\ -9a^2+8a+1=0 \Rightarrow 9a^2-8a-1=0\Rightarrow\\\\a=\frac{8\pm\sqrt{64-4\cdot9\cdot(-1)}}{2\cdot9}=\frac{8\pm\sqrt{100}}{18}=\frac{8\pm10}{18}=\frac{4\pm5}9\Rightarrow a=1\text{ ou }a=-\frac19$

Como  $a$  é inteiro, desprezamos o segundo valor fracionário.

$b=3a+1\Rightarrow b=3\cdot1+1=4\\\\\therefore \boxed{a+b=1+4=5}$