Question

Uma substância se decompõe aproximadamente segundo a lei Q(t)=2048.2^-0,5.t em que t indica o tempo (em minutos) e Q(t) indica a quantidade de substâncias (em gramas) no instante t.
Antes do inicio do processo de decomposição (t=0), quantos gramas de substância havia?
Quanto tempo após o incio do processo de decomposição restarão 512g de substância?

Answer 1

Para a primeira pergunta, substitua t = 0 na função Q(t) = 2049·2^{-0,5t}

$Q(t)=2048\cdot2^{-0,5t}\\\\Q(t)=2048\cdot2^{-\frac{1}{2}\cdot0}\\\\Q(t)=2048\cdot2^{0}\\\\Q(t)=2048\cdot1\\\\\fbox{ Q(t)=2048~gramas }$


Para a segunda pergunta substitua Q(t) por 512g.


$512=2048\cdot2^{-0.5t}\\\\512=2048\cdot2^{-\frac{1}{2}t}\\\\512=2048\cdot2^{-\frac{t}{2}}\\\\512=2048\cdot\dfrac{1}{~2^{\frac{t}{2}}}\\\\\\512=\dfrac{2048}{2^{\frac{t}{2}}}\\\\\\512=\dfrac{2^{11}}{2^{\frac{t}{2}}}\\\\\\512=2^{11-\frac{t}{2}}\\\\\\512=2^{\frac{22-t}{2}}\\\\\\2^9=2^{\frac{22-t}{2}}$

Lembrando que

$\fbox{ a^b=a^c~\Longleftrightarrow~b=c~~~~(0\ \textless \ a \neq 1) }$

Iguale os expoentes

$9=\dfrac{22-t}{2}\\\\\\18=22-t\\\\\\-t=-4~~~~(\cdot-1)\\\\\\\fbox{ t=4~minutos }$