Question

Um Quadrado Perfeito é um número inteiro que pode ser escrito como quadrado de outro número inteiro. Para que o número $\boxed{\boxed{M = \frac{45864}{360}*y}}$ seja um quadrado perfeito, o menor valor de y, y∈IN é:

a) 127
b) 65
c) 36
d) 13
e) 21

Answer 1

 Inicialmente, devemos fatorar M.

$\\ \mathsf{M = \frac{45864}{360} \cdot y} \\\\\\ \mathsf{M = \frac{2^3 \cdot 3^2 \cdot 7^2 \cdot 13}{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5} \cdot y}$ 
 
 Simplificando,

$\mathsf{M = \frac{7^2 \cdot 13}{5} \cdot y}$
 
 Ora, sabemos, mas o enunciado deixa bem claro que um quadrado perfeito é um número inteiro que pode ser escrito como o quadrado de outro inteiro. Com isso, é fácil perceber que o 5 (denominador) deve ser cancelado, e, o 13 precisa ser multiplicado por 13 para que tenhamos um quadrado (expoente dois).
 
 Portanto,
 
$\\ \mathsf{y = 5 \cdot 13} \\\\ \boxed{\mathsf{y = 65}}$ 

Answer 2

O menor valor de y para que M seja um quadrado perfeito é 65.

Para responder corretamente esse tipo de questão, devemos levar em consideração que:

• Se M deve ser um quadrado perfeito, então a raiz de M deve ser um valor inteiro;
• O primeiro passo é fatorar os números;

Com essas informações,  temos que ao fatorar o número, teremos a seguinte expressão:

M = y.(2³.3².7².13)/(2³.3².5)

M = y.(7².13)/5

Extraindo a raiz dos números, temos:

√M = √(y.7².13/5)

√M = 7.√(y.13/5)

Como √M deve ser inteiro, o valor y.13/5 deve ser quadrado perfeito, para isso, ele deve ser múltiplo de 13 e divisível por 5, os múltiplos de 13 são:

0, 13, 26, 39, 52, 65, 78, 81, ...

Destes, o único divisível por 5 é 65, logo:

y = 65

Resposta: B

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