Question

Quantos números, múltiplos de 5, de 4 algarismos distintos existem em nosso sistema de numeração?

Answer 1

Sabemos que no sistema de numeração decimal, os múltiplos de 5 são todos aqueles em que o algarismo das unidades é 0 ou 5.

Vamos analisar cada um dos casos:


•   Caso 1: o algarismo das unidades é 0:

       __  __  __   0 


Com o algarismo das unidades pré-definido, vamos ver quais possibilidades temos para os algarismos restantes:

       •   Para o algarismo das unidades de milhar (4ª ordem), temos

       {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

       9 possibilidades;


       •   Já que deseja-se algarismos distintos, elimina-se a opção usada na escolha anterior. Então, para o algarismo das centenas (3ª ordem), temos

       9 – 1 = 8 possibilidades;


       •   E para o algarismo das dezenas (2ª ordem), temos

       8 – 1 = 7 possibilidades.


Usando o Princípio Fundamental da Contagem (PFC), para temos um total de

9 · 8 · 7 · 1 = 504 números        (i)

na forma       __  __  __   0  .

__________


•   Caso 2: o algarismo das unidades é 5:

       __  __  __  5 


De forma análoga, temos o algarismo das unidades pré-definido. Vejamos as possibilidades para os algarismos restantes


       •   Para o algarismo das unidades de milhar (4ª ordem), temos

       {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}

       8 possibilidades;


       •   Tendo sido escolhido o algarismo anterior, podemos acrescentar o 0 (zero) à nossa lista, mas descontamos o dígito escolhido no passo acima. Então, para o algarismo das centenas temos

       8 + 1 – 1 = 8 possibilidades;

       (soma 1 possibilidade por causa do zero, mas subtrai-se 1 por que estamos interessados em algarismos distintos)


       •   E para o algarismo das dezenas (2ª ordem), temos

       8 – 1 = 7 possibilidades.


Novamente pelo PFC, temos um total de

8 · 8 · 7 · 1 = 448 números        (ii)

na forma       __  __  __   5   .

__________


Somando os resultados de (i) e (ii), vemos que o total de números múltiplos de 5 formados por quatro algarismos distintos é

504 + 448

= 952 números     <———    esta é a resposta.


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)


Tags: princípio fundamental da contagem quantidade números algarismos dígitos distintos múltiplos de cinco análise combinatória