Question

Se os ângulos internos de um triângulo estão em progressão aritmética de razão 40°, qual é a medida do menor ângulo agudo desse triângulo?

Answer 1

a 1 + a 2 + a 3 = 180
S 3 = 3 . (A 1 + A 3 ) / 2
180 = 3 (A 1 + A 3 ) / 2
360 = 3 (A 1 + A 3 )
360 / 3 = (A 1 + A 3 )
A 1 + A 3 = 120
A 2 = A 1 + A 3  / 2
A 2 = 120/2
A 2 = 60
R = 40
R = A 2 - A 1 
40 = 60 - A 1 
60 - A 1 = 40
- A 1 = 40 - 60
- A 1 = - 20 
A 1 = 20
Resposta O menor ângulo mede  20º

Answer 2

Considerando a sequência de uma P.A. com 3 termos, podemos descrever que o seu menor ângulo será de 20°, com uma sequência igual a (20, 60, 100).

Progressão aritmética

Quando temos uma relação onde o próximo termo equivale à soma dos anteriores.

Como podemos resolver ?

Quando temos uma P.A. contendo apenas 3 termos, podemos escrever de forma genérica a sua sequência da seguinte forma:

• $(x-r , x , x+r)$

Assim, como estamos trabalhando com ângulos de um triângulo, sua soma dos 3 ângulos deve ser igual a 180:

$x -r +x +x+r = 180\\\\x +x +x +r -r =180\\\\3x = 180\\\\x = \frac{180}{3} \\\\x = 60$

Descobrindo a sequência

Como sabemos que o termo do meio é igual a 60°, iremos substituir o valor da razão da sequência para descobrir o maior e o menor ângulo, assim, temos:

$x - r = 60 - 40 = 20\\\\\\x + r = 60 + 40 = 100$

Portanto, a sequência da P.A. é igual a (20, 60, 100), com o menor ângulo sendo 20°.

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