Question

Um prisma reto tem por base um triângulo isósceles de 8cm de base por 3cm de altura. Sabendo que a altura do prisma é igual a 1/3 do perímetro da base, calcule sua superfície total e o seu volume.

Ajuuuda...

Answer 1

Primeiramente, vamos recordar a fórmula do volume e da área total:

$\boxed{A_t=2A_b+A_l}\\\\ \boxed{V=A_b*h}$

Vamos encontrar o perímetro da base, mas antes, precisamos saber todos as medidas dos triângulo. Sabemos que a base vale 8cm e a altura 3cm. Agora, se pensarmos bem, a altura, juntamente com metade da medida da base e com um dos lados formam um triângulo retângulo, onde o lado desconhecido é a hipotenusa:

$x^2=4^2+3^2\\\\ x^2=16+9\\\\ x^2=25\\\\ \boxed{x=5\ cm}$

Agora, como o triângulo é isósceles, dois de seus lados são iguais, ou seja, apresenta dois lados medindo 5 cm.

$h = \frac{1}{3}P_b\\\\ h=\frac{1}{3}(5+5+8)\\\\ h=\frac{1}{3}(18)\\\\ \boxed{h=6\ cm}$

Agora, vamos encontrar a área da base, que é a área de um triângulo:

$\boxed{A_b=\frac{b*h}{2}}\\\\ A_b=\frac{8*3}{2}\\\\ A_b=\frac{24}{2}\\\\ \boxed{A_b=12\ cm^2}$

Pronto, agora só falta a área lateral, que é a soma das 3 áreas da face, um retângulo de base 8cm, 5cm e 5cm e todos de altura 6cm.

$A_l=6*8+5*6+5*6\\\\ A_l=48+30+30\\\\ \boxed{A_l=108\ cm^2}$

A área total:

$A_t=2A_b+A_l\\\\ A_t=2(12)+108\\\\ A_t=24+108\\\\ \boxed{A_t=132\ cm^2}$

Por fim, o volume:

$\boxed{V=A_b*h}\\\\ V=12*6\\\\ \boxed{V=72\ cm^3}$