Question

54 PTS --- O perímetro de um triângulo é 90 cm e sua área é 180 cm². Calcule a medida da hipotenusa desse triângulo.

Answer 1

a=hipotenusa ....b,c são os catetos e h=altura ...e que a.h=b.c
a²=b²+c²......a²=(b+c)² -2.bc =a²= (90-a)² -2.360
a²=8100 -180a +a² -720
7380=180a
a=41


a+b+c=90...b+c= 90-a
a.h/2=180
a.h=360 
b.c=360

Answer 2

 Olá!
 
 Do que é pedido no enunciado, podemos supor que o triângulo é retângulo.
 
 Comumente, temos "b" e "c" catetos e "a" hipotenusa. Ora, sabe-se que a área de um triângulo retângulo pode ser obtida calculando... $\mathsf{S = \frac{b \cdot c}{2}}$.
 
 Isto posto, temos que:

$\\ \mathsf{S = \frac{b \cdot c}{2}} \\\\ \mathsf{180 \cdot 2 = b \cdot c} \\\\ \mathsf{b \cdot c = 360}$
 
 Quanto ao perímetro,

$\\ \mathsf{2p = a + b + c} \\\\ \mathsf{a + b + c = 90}$
 
 Agora, atente-se ao "truque" [risos]:

$\\ \mathsf{a + b + c = 90} \\\\ \mathsf{b + c = 90 - a} \\\\ \mathsf{(b + c)^2 = (90 - a)^2} \\\\ \mathsf{b^2 + 2 \cdot b \cdot c + c^2 = 8100 - 2 \cdot 90 \cdot a + a^2} \\\\ \mathsf{b^2 + c^2 + 2bc = 8100 - 180a + a^2}$
 
 Ora, do Teorema de Pitágoras, sabemos que $\mathsf{b^2 + c^2 = a^2}$. E, conhecemos $\mathsf{b \cdot c}$...
 
 Com efeito,

$\\ \mathsf{\underbrace{\mathsf{b^2 + c^2}}_{a^2} + 2 \cdot \underbrace{\mathsf{bc}}_{360} = 8100 - 180a + a^2} \\\\ \mathsf{a^2 + 2 \cdot 360 = 8100 - 180a + a^2} \\\\ \mathsf{a^2 - a^2 + 180a = 8100 - 720} \\\\ \mathsf{180a = 7380} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{a = 41 \ cm}}}$
 
 Parabéns pela questão, bem legal!!