A área da superfície de uma esfera e a área total de um cone circular reto são iguais. Se o raio do cone mede 4cm e o volume do cone é 16 π cm³ , o raio da esfera é dado, em centímetros, por ?
Respostas
Legendas:
Ac = Área cone;
Ae = Área esfera;
Rc = Raio cone;
Re = Raio esfera;
Vc = Volume cone
g = setor circular.
h = altura
Ac = π * Rc (g + Rc)
Vc = 1/3 * π * Rc² * h
Ae = 4 * π * Re²
Rc = 4 cm; Vc = 16π cm³
Vc = 1/3 * π * Rc² * h
16π = 1/3 * π * (4)² * h
h = 3 cm
Seguindo o desenho do cone, o raio seria 4 cm, a altura 3 cm e o setor circular seria o valor da hipotenusa dos dois:
g² = (4)² + (3)²
g² = 16 + 9
g² = 25
g = 5 cm
Aplicando as fórmulas de área da esfera e do cone uma vez que ambas são igualitárias:
Ae = Ac
4 * π * Re² = π * Rc * (g + Rc)
4 * π * Re² = π * 4 * ( 5 + 4)
Re² = 9
Re = 3 cm
O raio da esfera é dado, em centímetros, por 3.
A área da superfície de uma esfera é calculada pela fórmula:
Ae = 4πr².
Já a área total do cone é igual a:
Atc = πR(R + g), sendo g a geratriz.
O volume do cone é igual a um terço do produto da área da base pela altura.
Como o volume do cone é igual a 16π cm³, então:
16π = πR².h/3
16.3 = R².h
R².h = 48.
Como o raio do cone mede 4 cm, então:
4².h = 48
16h = 48
h = 3 cm.
A geratriz, o raio e a altura do cone formam um triângulo retângulo. Pelo Teorema de Pitágoras, é válido que:
g² = R² + h²
g² = 4² + 3²
g² = 16 + 9
g² = 25
g = 5 cm.
Como a área da superfície da esfera é igual a área total do cone, então o raio da esfera é igual a:
4πr² = π.4(4 + 5)
r² = 9
r = 3 cm.
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