Question

Considere a função , f : IR → IR definida por
f( x ) = −x² + x + 2 Se A e B são os pontos nos quais o
gráfico de f corta o eixo dos x, e V é o vértice desse gráfico, a área do triângulo ABV é

a : 9/4
b : 3/2
c : 81/16
d: 27/8

Answer 1

f(x) = -x² + x + 2

Quando o gráfico intercepta o eixo x ⇒ y (f(x)) = 0

0 = -x² + x + 2 → Por Bháskara (a = -1, b = 1, c = 2)

Δ = b² - 4 * a * c
Δ = 1 - 4 * -1 * 2
Δ = 1 + 8
Δ = 9

x' | x'' = (-b +- √Δ) / (2 * a)
x' | x'' = (-1 +- 3) / -2

x' = (-1 - 3) / -2
x' = -4  /-2
x' = 2 → Primeira raiz !

x'' = (-1 + 3) / -2
x'' = 2 / -2 
x'' = -1 → Segunda raiz !

logo, como para as raízes y = 0, as coordenadas das raízes são :
A = (2,0);
B = (-1,0)

Pela equação, temos a = -1, b = 1, c = 2. Ainda descobrimos que Δ = 9. As coordenadas do vértice são dadas por :
Xv = -b / (2 * a) 
Yv = -Δ / (4 * a)

Xv = -1 / (2 * -1)
Xv = -1 / -2
Xv = 1/2
Yv = -9 / (4 * -1)
Xv = 9/4 

Logo, ponto V do vértice é (1/2,9/4)

No triângulo ABV, temos :
A = (2,0);
B = (-1,0);
V = (1/2,9/4)...
→ Analisando, temos que a altura h do triângulo é o ponto mais alto em y. Logo, h = 9/4...
→ A base está contida no eixo das abcissas e é a distância entre A e B...

Distância entre dois pontos (D):
D = √((x1 - x2)² + (y1 - y2)²)

Sendo ⇒
x1 = 2,
x2 = -1;
y1 e y2 = 0... (Não importa a ordem de x1, x2, y1 e y2...)

D(AB) = √(((2 -(-1))² + 0²)
D(AB) = √((2 + 1)²)
D(AB) = √3² ⇒ "Cancela-se" raiz com expoente !
D(AB) = 3 

Logo, a base b do triângulo é 3.

Área = b * h / 2 → Sendo ⇒ b = 3 e h = 9/4 :

Área = (3 * 9/4) / 2
Área = (27/4) / 2
Área = (27 / (4 * 2))

Área = 27 / 8 unidades quadradas ⇒ Área do triângulo ABV !