Question

Considere o operador linear T: , T(x,y,z)=(x + 2y + 2z, x + 2y – z, –x + y + 4z). Assinale a alternativa que contenha o vetor u tal que T(u)=(7,4,5).

Answer 1

Seja a transformação linear de R³ em R³, queremos achar o vetor u que tenha como transformada as coordenadas de T(u), podemos montar um sistema para encontrar as coordenadas do vetor u, dessa forma:

x + 2y + 2z = 7
x + 2y - z = 4
-x + y + 4z = 5

Somando L1 e L3, temos:

3y + 6z = 12

3y = 12 - 6z

y = 12 - 6z / 3

y = 4 - 2z

Agora, substituímos o valor de y em L1:

x + 2(4 - 2z) + 2z = 7

x + 8 - 4z + 2z = 7

x = -1 + 2z

Agora, substituímos os valores de x e y em L2:

-1 + 2z + 2(4 - 2z) - z = 4

-1 + 2z + 8 - 4z - z = 4

-3z = -3

z = 1

Agora, substituímos o valor de z em x e y:

x = -1 + 2(1)
y = 4 - 2(1)

x = 1
y = 2

Foi encontrado o vetor u = (1, 2, 1), agora, iremos verificar se esse vetor satisfaz a T(u):

1 + 2(2) + 2(1) = 7
1 + 2(2) - 1 = 4
-1 + 2 + 4(1) = 5

7 = 7
4 = 4
5 = 5

As coordenadas de u corresponderam à T(u).

Espero ter ajudado.

Answer 2

Caso tiver problemas para visualizar a resposta pelo aplicativo, experimente abrir pelo navegador: https://brainly.com.br/tarefa/7968303

_______________


Queremos encontrar um vetor
$\overrightarrow{\mathsf{u}}=\mathsf{(x,\,y,\,z)\in\mathbb{R}^3,}$

de modo que $\mathsf{T(\overrightarrow{\mathsf{u}})}=\mathsf{(7,\,4,\,5).}$


Isso é equivalente a resolver um simples sistema de equações lineares:

$\mathsf{T(\overrightarrow{\mathsf{u}})}=\mathsf{(7,\,4,\,5).}\\\\ \mathsf{T(x,\,y,\,z)}=\mathsf{(7,\,4,\,5).}\\\\ \mathsf{(x+2y+2z,\,x+2y-z,\,-x+y+4z)}=\mathsf{(7,\,4,\,5).}\\\\\\ \left\{\! \begin{array}{ccl} \mathsf{x+2y+2z}&=&\mathsf{7}\\ \mathsf{x+2y-z}&=&\mathsf{4}\\ \mathsf{-x+y+4z}&=&\mathsf{5} \end{array} \right.$


Reescrevendo na forma matricial, temos

$\underbrace{\begin{bmatrix} \mathsf{1}&\mathsf{2}&\mathsf{2}\\ \mathsf{1}&\mathsf{2}&\mathsf{-1}\\ \mathsf{-1}&\mathsf{1}&\mathsf{4} \end{bmatrix}}_{\mathsf{A}}\cdot \begin{bmatrix} \mathsf{x}\\ \mathsf{y}\\ \mathsf{z} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathsf{7}\\ \mathsf{4}\\ \mathsf{5} \end{bmatrix}$


Calculando o determinante da matriz A dos coeficientes:

$\mathsf{D}=\begin{vmatrix} \mathsf{1}&\mathsf{2}&\mathsf{2}\\ \mathsf{1}&\mathsf{2}&\mathsf{-1}\\ \mathsf{-1}&\mathsf{1}&\mathsf{4} \end{vmatrix}\\\\\\ \begin{array}{rr} =&\mathsf{1\cdot 2\cdot 4+2\cdot (-1)\cdot (-1)+2\cdot 1\cdot 1}\\ &\mathsf{-(-1)\cdot 2\cdot 2-1\cdot (-1)\cdot 1-4\cdot 1\cdot 2} \end{array}\\\\\\ \begin{array}{rr} =&\mathsf{8+2+2}\\ &\mathsf{+4+1-8} \end{array}$

$=\mathsf{\diagup\!\!\!\! 8+2+2+4+1-\diagup\!\!\!\! 8}\\\\ =\mathsf{9\ne 0}\qquad\quad\checkmark$


Como o determinante é diferente de zero, o sistema possui única solução. Esta solução é o vetor procurado.

__________


Resolvendo pela Regra de Cramer


•  Determinante associado à 1ª coordenada:

$\mathsf{D_x}=\begin{vmatrix} \mathsf{7}&\mathsf{2}&\mathsf{2}\\ \mathsf{4}&\mathsf{2}&\mathsf{-1}\\ \mathsf{5}&\mathsf{1}&\mathsf{4} \end{vmatrix}\\\\\\ \begin{array}{rr} =&\mathsf{7\cdot 2\cdot 4+2\cdot (-1)\cdot 5+2\cdot 4\cdot 1}\\ &\mathsf{-5\cdot 2\cdot 2-1\cdot (-1)\cdot 7-4\cdot 4\cdot 2} \end{array}\\\\\\ \begin{array}{rr} =&\mathsf{56-10+8}\\ &\mathsf{-20+7-32} \end{array}$

$=\mathsf{54-45}\\\\ =\mathsf{9}\qquad\quad\checkmark$


•  Determinante associado à 2ª coordenada:

$\mathsf{D_y}=\begin{vmatrix} \mathsf{1}&\mathsf{7}&\mathsf{2}\\ \mathsf{1}&\mathsf{4}&\mathsf{-1}\\ \mathsf{-1}&\mathsf{5}&\mathsf{4} \end{vmatrix}\\\\\\ \begin{array}{rr} =&\mathsf{1\cdot 4\cdot 4+7\cdot (-1)\cdot (-1)+2\cdot 1\cdot 5}\\ &\mathsf{-(-1)\cdot 4\cdot 2-5\cdot (-1)\cdot 1-4\cdot 1\cdot 7} \end{array}\\\\\\ \begin{array}{rr} =&\mathsf{16+7+10}\\ &\mathsf{+8+5-28} \end{array}$

$=\mathsf{33-15}\\\\ =\mathsf{18}\qquad\quad\checkmark$


•  Determinante associado à 3ª coordenada:

$\mathsf{D_z}=\begin{vmatrix} \mathsf{1}&\mathsf{2}&\mathsf{7}\\ \mathsf{1}&\mathsf{2}&\mathsf{4}\\ \mathsf{-1}&\mathsf{1}&\mathsf{5} \end{vmatrix}\\\\\\ \begin{array}{rr} =&\mathsf{1\cdot 2\cdot 5+2\cdot 4\cdot (-1)+7\cdot 1\cdot 1}\\ &\mathsf{-(-1)\cdot 2\cdot 7-1\cdot 4\cdot 1-5\cdot 1\cdot 2} \end{array}\\\\\\ \begin{array}{rr} =&\mathsf{10-8+7}\\ &\mathsf{+14-4-10} \end{array}$

$=\mathsf{9+0}\\\\ =\mathsf{9}\qquad\quad\checkmark$


Pela Regra de Cramer, temos então que

•   $\mathsf{x=\dfrac{D_x}{D}}$

$\mathsf{x=\dfrac{9}{9}}\\\\\\ \mathsf{x=1}\qquad\quad\checkmark$


•   $\mathsf{y=\dfrac{D_y}{D}}$

$\mathsf{y=\dfrac{18}{9}}\\\\\\ \mathsf{y=2}\qquad\quad\checkmark$


•   $\mathsf{z=\dfrac{D_z}{D}}$

$\mathsf{z=\dfrac{9}{9}}\\\\\\ \mathsf{z=1}\qquad\quad\checkmark$


O vetor procurado é

$\boxed{\begin{array}{c}\overrightarrow{\mathsf{u}}=\mathsf{(1,\,2,\,1)} \end{array}}\qquad\quad\checkmark.$


Bons estudos! :-)