Question

Uma função limitada, de modo que m≤ f(x) ≤ M implica que $\int_{a}^{b}m~dx~\int_{a}^{b}f(x)dx\leq \leq \int_{a}^{b}M~dx$, ou seja, o valor da integral também é limitada. Por essa propriedade, podemosaproximar o valor de uma integral, conhecido seu intervalo de variação. Apresentamos abaixo, o gráfico de $f(x) = \sqrt{1+x}$. A alternativa que melhor aproxima o valor de $\int_{0}^{1}\sqrt{1+x}~dx$ está no intervalo:

(IMAGEM ANEXADA)

Demonstre.


resposta [1, √2]

Answer 1

 Cabral, esta propriedade é bem parecida com o Teorema do Confronto (sanduíches), todavia, aqui estamos trabalhando com integrais.
 
 Do gráfico, nota-se que quando x = 0, a função corta o eixo Oy em 1; quando x = 1, a ordenada vale $\mathsf{\sqrt{2}}$. Desse modo, podemos limitar $\mathsf{f(x)}$ inferiormente em $\mathsf{g(x) = 1}$ e superiormente em $\mathsf{h(x) = \sqrt{2}}$.
 
 Então, de acordo com o enunciado,

$\\ \displaystyle \mathsf{g(x) \leq f(x) \leq h(x)} \\\\ \mathsf{\int_{0}^{1} g(x) \ dx \leq \int_{0}^{1} f(x) \ dx \leq \int_{0}^{1} h(x) \ dx} \\\\\\ \mathsf{\int_{0}^{1} 1 \ dx \leq \int_{0}^{1} \sqrt{x + 1} \ dx \leq \int_{0}^{1} \sqrt{2} \ dx} \\\\\\ \mathsf{\left [ x \right ]_{0}^{1} \leq \int_{0}^{1} \sqrt{x + 1} \ dx \leq \left [ x\sqrt{2} \right ]_{0}^{1}} \\\\\\ \mathsf{1 - 0 \leq \int_{0}^{1} \sqrt{x + 1} \ dx \leq \sqrt{2} - 0}$
 
$\boxed{\mathsf{1 \leq \int_{0}^{1} \sqrt{x + 1} \ dx \leq \sqrt{2}}}$
 
 Ou seja, $\boxed{\displaystyle \mathsf{\int_{0}^{1} \sqrt{x + 1} \ dx \in \left [ 1, \sqrt{2} \right ]}}$.

Answer 2

Oie, vc pode ir no meu perfil responder minha pergunta por favor??