Question

A figura a seguir possui dois ângulos retos e, em termos de comprimentos, AB=6, CD=3 e AC=15. Qual é o comprimento do segmento BD?

Answer 1

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Observe a figura em anexo.

Os triângulos ABO e CDO são semelhantes pois dois dois de seus ângulos internos são congruentes.


Então os lados correspondentes são proporcionais:

$\mathsf{\dfrac{med(\overline{AB})}{med(\overline{AO})}=\dfrac{med(\overline{CD})}{med(\overline{CO})}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{6}{15-x}=\dfrac{3}{x}}\\\\\\ \mathsf{6x=3\cdot (15-x)}\\\\ \mathsf{6x=45-3x}$

$\mathsf{6x+3x=45}\\\\ \mathsf{9x=45}\\\\ \mathsf{x=\dfrac{45}{9}}\\\\\\ \mathsf{x=5}\qquad\quad\checkmark$


Ainda usando a semelhança e proporções.

$\mathsf{\dfrac{med(\overline{BO})}{med(\overline{OD})}=\dfrac{med(\overline{AO})}{med(\overline{OC})}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{med(\overline{BO})}{med(\overline{OD})}=\dfrac{15-x}{x}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{med(\overline{BO})}{med(\overline{OD})}=\dfrac{15-5}{5}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{med(\overline{BO})}{med(\overline{OD})}=\dfrac{10}{5}}$

$\mathsf{\dfrac{med(\overline{BO})}{med(\overline{OD})}=2}\\\\\\ \mathsf{med(\overline{BO})=2\cdot med(\overline{OD})\qquad\quad(i)}$


Aplicando Teorema de Pitágoras ao triângulo CDO, temos

$\mathsf{med(\overline{CD})^2+med(\overline{OD})^2=med(\overline{OC})^2}\\\\ \mathsf{3^2+med(\overline{OD})^2=x^2}\\\\ \mathsf{3^2+med(\overline{OD})^2=5^2}\\\\ \mathsf{med(\overline{OD})^2=5^2-3^2}$

$\mathsf{med(\overline{OD})^2=25-9}\\\\ \mathsf{med(\overline{OD})^2=16}\\\\ \mathsf{med(\overline{OD})=\sqrt{16}}\\\\ \mathsf{med(\overline{OD})=4}\qquad\quad\checkmark$


Substituindo em $\mathsf{(i)},$ encontramos

$\mathsf{med(\overline{BO})=2\cdot 4}\\\\ \mathsf{med(\overline{BO})=8}\qquad\quad\checkmark$


Por fim, temos que a medida do segmento $\mathsf{\overline{BD}}$ é

$\mathsf{med(\overline{BD})=med(\overline{BO})+med(\overline{OD})}\\\\ \mathsf{med(\overline{BD})=8+4}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{med(\overline{BD})=12} \end{array}}\qquad\quad\checkmark$


Bons estudos! :-)

Answer 2

Para um melhor entendimento da questão, criemos um ponto E (Observe a figura).E, a partir de agora, consideremos essa figura, como sendo dois triângulos retângulos. Notemos, que ambo os triângulos, possuem um ângulo de 90°, e possuem outros ângulos congruentes, que são os ângulos opostos pelo vértice. Logo, podemos garantir, que esses triângulos são semelhantes, pelo caso AA.
O lado CD é homólogo ao lado AB, então, nesse caso, a razão de semelhança é: $\frac{6}{3} =2$.  Logo, o valor dos lados do triângulo ABE, vão ser o dobro do valor, dos lados homólogos dos lados do triângulo CDE. Como o semento  mede 15, e é formado por lados homólogos dos dois triângulos, podemos concluir que $x+2x=15$ (onde 2x é o segmento AE, e x é o segmento EC. Assim sendo:
$x+2x=15$
$3x=15$
$x= \frac{15}{3}$
$x=5$
Então, podemos concluir que o segmento AE mede 2 × 5 = 10, e o segmento EC mede 5. Assim, em cada triângulo, já conhecemos dois de sues lados. 
Agora vamos avaliar cada uns dos triângulos separadamente. Notemos, que como isto são triângulos retângulo, os lados que descobrimos, foi um dos cateto, e a hipotenusa, que é o segmento que oposto ao ângulo reto. Assim, para achar o comprimento dos outros lados de cada triângulos, vamos utilizar o Teorema de Pitágoras.

No triângulo ABE, um dos catetos mede 6, e a hipotenusa mede 10, e consideremos o outro cateto como x, então:
$6^2+x^2=10^2$
$36^2+x^2=100$
$x^2=100-36$
$x^2=64$
$x= \sqrt{64}$
$x=8$
Logo, o segmento BE, mede 8.

Agora, vamos realizar o mesmo procedimento no triângulo EDC. No qual, um cateto mede 3 e a hipotenusa, mede 5, e consideremos o outro cateto como x, então:
$3^2+x^2=5^2$
$9+x^2=25$
$x^2=25-9$
$x^2=16$
$x= \sqrt{16}$
$x=4$
Logo, o segmento ED, mede 4.


Como queremos saber quanto mede o segmento BD, e esse segmento, é formado pelos segmentos BE e ED , que conhecemos seus valores, basta efetuar a soma deles dois. Assim, o segmento $BD=4+8=12$. Logo, o comprimento do segmento  é 12.

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! ;-)