Question

Um carpinteiro tem um modo estranho de trabalhar. Ele deve cercar um terreno retangular de 151,25 metros de comprimento por 81,25 metros de largura. No primeiro dia, fez um metro de cerca, e, cada dia de trabalho, fez um metro a mais que havia feito no dia anterior. Quantos dias levou para fazer a cerca

Answer 1

Olá Weltherflox,


Primeiro vamos calcular o perímetro desse terreno:

l = largura
c = comprimento

$\mathsf{p=l+l+c+c\Rightarrow p=2l+2c\Rightarrow p=2\cdot(c+l)}\\=\\\mathsf{p=2\cdot(151,25+81,25)\Rightarrow p = 2\cdot(232,5)}\\=\\\boxed{\mathsf{p=465~metros}}$

Sabemos que o carpinteiro no primeiro dia fez 1 metro de cerca, já no segundo dia ele fará 1 metro a mais que no dia anterior ( ou seja, 2 metros), e assim sucessivamente.

Primeiro dia: 1 metro
Segundo dia: 2 metros
Terceiro dia: 3 metros
...

Isso daria uma progressão aritmética de razão 1. Mas como queremos somar a quantidade de metros que ele faz cada dia, precisamos usar equação da soma de uma P.A:

$\mathsf{S_n=\dfrac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}}$

Sabendo que a soma tem que dar o tamanho do perímetro (465 metros), temos:

$\mathsf{465=\dfrac{(1+a_n)\cdot n}{2}\Rightarrow 2\cdot 465=(1+a_n)\cdot n}\\\\=\\\\\mathsf{930=(1+a_n)\cdot n\Rightarrow n=\dfrac{930}{(1+a_n)}}\\\\\\\\\mathsf{P.A~\{a_n=a_1+(n-1)\cdot r\}}\\\\\mathsf{a_n=1+(n-1)\cdot 1\Rightarrow~}\mathsf{a_n=1+n-1\Rightarrow~}\mathsf{a_n=n}\\\\=\\\\\mathsf{a_n=\dfrac{930}{(1+a_n)}\Rightarrow a_n\cdot(1+a_n)=930\Rightarrow a_n+ a_n^2-930=0}\\\\=\\\\\mathsf{a_n^2+a_n-930=0}$

$\mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\mathsf{\Delta=1^2-4.1.(-930)}\\\mathsf{\Delta=1+3.720}\\\mathsf{\Delta=3.721}\\\\\mathsf{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\\\\mathsf{a_n^+=\dfrac{-(1)+\sqrt{3.721}}{2.1}\Rightarrow a_n^+\dfrac{-1+61}{2}\Rightarrow a_n^+=\dfrac{60}{2}\Rightarrow \boxed{\mathsf{a_n^+=30}}}\\\\\\\mathsf{a_n^-=\dfrac{-1-61}{2}\Rightarrow a_n^-\dfrac{-62}{2}\Rightarrow \boxed{\mathsf{a_n^-=-31}}\gets N\~ao~serve,~pois~\'e~negativo}$


Como estamos tratando de uma grandeza (dias), ela não pode ser negativa.

Portanto serão precisos 30 dias para o carpinteiro cercar seu terreno.


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