Question

Resolver a equacao log2(x+7)-log2(2x-1)=2

Answer 1

$\displaystyle \log_2(x+7)-\log_2(2x-1)=2$
regra da subtração de logs:
$\displaystyle \log_2(x+7)-\log_2(2x-1)=2\implies \log_2\left(\frac{x+7}{2x-1}\right)=2$
considerar que os dois lados são potencias com base 2:
$\displaystyle \log_2\left(\frac{x+7}{2x-1}\right)=2\implies 2^{\log_2\left(\frac{(x+7)}{(2x-1)}\right)}=2^{2}\implies \frac{x+7}{2x-1}=4$
o resultado acima foi obtida por causa dessa regra:
$\boxed{c^{\log_ca}=a}$
então:
$\displaystyle \frac{x+7}{2x-1}=4\implies x+7=8x-4\implies 8x-x=7+4\implies 7x=11\\\\ \boxed{x=\frac{11}{7}}$
provando (considerando que a equação é uma função) quando substituirmos x por 11/7 temos que obter 2:
$\displaystyle f(x)=\log_2(x+7)-\log_2(2x-1)$

$\displaystyle f\left(\frac{11}{7}\right)=\log_2\left(\frac{11}{7}+7\right)-\log_2\left(2\cdot\frac{11}{7}-1\right)\\\\f\left(\frac{11}{7}\right)=\log_2\left(\frac{11}{7}+\frac{7\cdot7}{7}\right)-\log_2\left(\frac{22}{7}-\frac{7}{7}\right) \\\\f\left(\frac{11}{7}\right)=\log_2\left(\frac{60}{7}\right)-\log_2\left(\frac{15}{7}\right) \\\\f\left(\frac{11}{7}\right)=\log_2\left(\frac{\frac{60}{7}}{\frac{15}{7}}\right) \\\\f\left(\frac{11}{7}\right)=\log_2\left(\frac{60}{7}\cdot\frac{7}{15}\right)$
$\displaystyle \\\\f\left(\frac{11}{7}\right)=\log_2\left(\frac{60}{15}\right) \\\\\boxed{f\left(\frac{11}{7}\right)=\log_2\left(4\right)=2}$

sucesso!! conseguimos comprovar que x = 11/7 para que a equação acima assuma o valor = 2.
Qualquer dúvida só comentar ^^