Question

$\textsf{Calcular o raio de uma circunfer\^encia circunscrita a um tri\^angulo is\'osceles}\\\mathsf{de~base~6~tendo~outro~lado~medindo~\sqrt{90}.}\\\\\\\textsf{Demonstrar visualmente.}$

Answer 1

Olá Vinicius,


Sabendo que se trata de um triângulo isósceles e temos seus 3 lados, podemos calcular sua altura.

Basta imaginar um corte feito no meio desse triângulo, tocando o ponto médio da base e seu vértice.

Obteremos 2 triângulos retângulos, onde a metade da base é um dos catetos, √90 é a hipotenusa e o segundo cateto é a altura (h):


$\mathsf{h^2+3^2=(\sqrt{90}) ^2\Rightarrow h^2+9=90\Rightarrow h^2=90-9\Rightarrow h=\sqrt{81}\Rightarrow h=9}$

Imaginemos agora 3 segmentos de retas que ligam o vértice do triângulo isósceles e o centro da circunferência.

Imagine também mais um segmento que toca o ponto médio da base do triângulo isósceles e o centro da circunferência.

Surgirá então 2 triângulos isósceles e 2 triângulos retângulos, onde um de seus catetos é o ponto médio do triângulo isósceles (3).

O outro será a diferença da altura do triângulo pelo raio (9 - R). Por fim a hipotenusa é igual ao raio.

Com essas informações podemos usar Pitágoras para calcular o comprimento do raio:

$\mathsf{(9-R)^2+3^2=R^2\Rightarrow 81-9R-9R+R^2+9=R^2}\\=\\\mathsf{\diagup\!\!\!\!R^2-18R+90=\diagup\!\!\!\!R^2\Rightarrow -18R=-90\Rightarrow R=\dfrac{-90}{-18}}\\=\\\boxed{\mathsf{R=5}}$

Portanto o raio vale 5 unidades!


Colocarei uma imagem abaixo para elucidar melhor a resposta.

Dúvidas? comente.

Answer 2

∴ Num triângulo isósceles a altura relativa a base é dividi a base em dois segmentos iguais ( ou seja ela também é mediana ) . Antes de prosseguir , olhe o anexo com a figura .

$( \sqrt{90})^2 = (3)^2 + h^2$
$90 = 9 + h^2$
$81 = h^2$
$h = 9$

→ A fórmula mais comum para o cálculo da área de um triângulo é :

$A = \frac{b.h}{2}$
$A = \frac{6.9}{2}$
$A = 27$

→ Agora utilizando uma outra fórmula para calcular a área de um triângulo , poderíamos obter o raio da circunferência circunscrita .

$A = \frac{a.b.c}{4R}$

∴ Onde a,b,c representam as medidas dos lados do triângulo , A a área e R representa o raio da circunferência circunscrita.

$27 = \frac{ \sqrt{90}. \sqrt{90}.6 }{4R}$
$27.4R = 90 . 6$
$4R = 20$
$R = 5$

∴ Logo o raio da circunferência circunscrita é : R = 5