• Matéria: Matemática
  • Autor: danielmulinari
  • Perguntado 9 anos atrás

sabendo que cos(3x)=-1 quais sao os possiveis valores para cos(x)?

Respostas

respondido por: Lukyo
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\mathsf{cos(3x)=-1}\\\\ \mathsf{cos(3x)=cos\,\pi}\\\\\\ \mathsf{3x=\pi+2k\cdot \pi}\\\\ \mathsf{x=\dfrac{1}{3}\cdot (\pi+2k\cdot \pi)}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2k\cdot \pi}{3}}

onde \mathsf{k} é inteiro.


Vejamos o que acontece com \mathsf{x} quando variamos \mathsf{k} nos inteiros:

•  Para \mathsf{k=0:}

\mathsf{x=\dfrac{\pi}{3}}\\\\\\ \mathsf{cos\,x=cos\,\dfrac{\pi}{3}}\\\\\\ \mathsf{cos\,x=\dfrac{\,1\,}{2}}\qquad\quad\checkmark


•  Para \mathsf{k=2:}

\mathsf{x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2\pi}{3}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{3\pi}{3}}\\\\\\ \mathsf{x=\pi}\\\\\\ \mathsf{cos\,x=cos\,\pi}\\\\ \mathsf{cos\,x=-1}\qquad\quad\checkmark


•  Para \mathsf{k=3:}

\mathsf{x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2\cdot 2\pi}{3}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{4\pi}{3}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{5\pi}{3}}\\\\\\ \mathsf{cos\,x=cos\,\dfrac{5\pi}{3}}

\mathsf{cos\,x=cos\!\left(2\pi-\dfrac{\pi}{3} \right )}\\\\\\ \mathsf{cos\,x=cos\,\dfrac{\pi}{3}}\\\\\\ \mathsf{cos\,x=\dfrac{\,1\,}{2}}\qquad\quad\checkmark


Para outros valores inteiros de \mathsf{k,} obtemos os mesmos valores acima (esse processo é periódico módulo 3).


Portanto os possíveis valores para \mathsf{cos\,x} são \mathsf{-1} e \mathsf{\dfrac{\,1\,}{2}.}


Bons estudos! :-)

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