Question

Sabendo que 1 é raiz de P(x) = ax3 - 2x2 + bx - 1 e que P(2) = 3, calcule a e b.
a) a=2 e b=3
b)a=1 e b=2
c)a=1 e b=3
d)a=2 e b=4
e)a=3 e b=4

Answer 1

Cristina,
Vamos passo a passo

Sendo nulo, P(x) da lugar à equação quadrática

             ax^3 - 2x^2 + bx - 1 = 0

Se 1 é raiz
                         a(1)^3 - 2(1)^2 + b.1 - 1 = 0
                         a + b - 2 - 1 = 0
                                                             a + b = 3    (1)

P(2) = 3
                         a(2)^3 - 2(2)^2 + b.2 - 1 = 3
                         8a - 8 + 2b - 1 = 3
                                                             8a + 2b = 12    (2)
Resolvendo sistema (1) (2)
    De (1)
                     a = 3 - b        (3)    
   (3) em (2)
                       8(3 - b) + 2b = 12
                       24 - 8b + 2b = 12
                       24 - 12 = 6b
                               12 = 6b
                                  b = 12/6
                                                     b = 2
   b em (1)
                         a + 2 = 3
                                                     a = 1
                                                                     ALTERNATIVA b)

Answer 2

P(2)=3
Substituindo no polinômio: a.(2)³ - 2.(2)² + b.(2) - 1 = 3 --> 4a + b = 6 (I)

Como 1 é raiz do polinômio, podemos usar o algoritmo de Briot Rufini para reduzir o grau do polinômio. Quando dividimos o polinômio por (x-1) chegamos num resto a+b-3. No algoritmo de Briot Rufini o resto da divisão dá 0, entao a+b-3=0 --> a+b=3 (II)

Pegamos as equações (I) e (II) e montamos um sistema de equações. Fazendo (I) - (II) chegamos em: 3a=3 --> a=1

Tendo o valor de "a" podemos substituí-lo em (I) ou (II) para descobrir o valor de "b". Substituindo em (II) temos que: a+b=3 --> 1+b=3 --> b=2

Resposta: alternativa B (a=1 e b=2)