Question

Suponha que existem 35 maneiras distintas de se comprar 3 refrigerantes em uma loja, em que há n tipos de refrigerantes disponíveis. Além disso, se for acrescentado mais um novo tipo de refrigerante, então existem 56 maneiras de serem adquiridos esses 3 refrigerantes. Nessas condições, determine o valor de n. Sugestão: Assuma que podem ser comprados refrigerantes repetindo-se um mesmo tipo.

Answer 1

Olá Gabi,


Essa questão trata-se de um combinação por pedir maneiras distintas e com repetições, já que pode ser repetido o mesmo tipo de refrigerante.


$\mathsf{C_r(y,z)=C(y+z-1, z)}\\\\\\\mathsf{C_r_{(n,3)}=\dfrac{(n+3-1)!}{3!\cdot [(n+3-1)-3]!}\Longleftrightarrow \dfrac{(n+2)!}{3!\cdot (n-1)!}}$


Como são 35 maneiras distintas, precisamos igualar a 35:


$\mathsf{ C_r_{(n,3)}=\dfrac{(n+2)!}{3!\cdot (n-1)!}=35\Longleftrightarrow \dfrac{(n+2)\cdot(n+1)\cdot n \cdot(n-1)!}{3!\cdot(n-1)!}=35}\\\\=\\\\\mathsf{\dfrac{(n+2)\cdot(n+1)\cdot n}{3\cdot 2\cdot 1}=35\Longleftrightarrow \dfrac{(n+2)\cdot(n+1)}{6}=\dfrac{35}{n}}$


Acrescentando mais um tipo de refrigerante:


$\mathsf{C_r_{(n+1,3)}=\dfrac{(n+1+3-1)!}{3!\cdot[(n+1+3-1)-3]}=56\Longleftrightarrow \dfrac{(n+3)!}{3!\cdot n!}=56}\\\\=\\\\\mathsf{\dfrac{(n+3)\cdot(n+2)\cdot(n+1)\cdot \diagup\!\!\!\!n!}{3\cdot 2 \cdot 1 \diagup\!\!\!\! n!}=56\Longleftrightarrow \dfrac{(n+2)\cdot(n+1)}{6}=\dfrac{56}{(n+3)}}$


$\mathsf{\dfrac{56}{(n+3)}=\dfrac{35}{n}\Longleftrightarrow 56n=35n+105\Longleftrightarrow 56n-35n=105\Longleftrightarrow 21n=\!105}\\\\=\\\\\mathsf{n=\dfrac{105}{21}\Longleftrightarrow \boxed{\mathsf{n=5}}}$

Portanto, a quantidade inicial de refrigerantes n é de 5 tipos!

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