Question

Qual o centro e o raio da circunferência cuja equação é x2 + y2 - 2x + 4y -11 = 0

Answer 1

x²+y²-2x+4y-11 = 0

Sabemos que:

(x-a)² + (y-b)² = r²

x²-2ax+a²+y²-2by+b² = r²

Assim:

-2x = -2ax

a = 1

4y = -2by

b = -2

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a²+b² = r²

(1)²+(-2)² = r²

1+4 = r²

r² = 5

r = √5

Assim, temos que:

C(1;-2) e r = √5

Answer 2

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Da equação reduzida de uma circunferência

$\mathsf{(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2\qquad\quad(i)}$

obtemos as coordenadas do centro $\mathsf{C(x_C,\,y_C)}$ e o raio $\mathsf{r}.$


Basicamente, temos que transformar a equação geral dada para a forma reduzida. Fazemos isso via completamento de quadrados:

$\mathsf{x^2+y^2-2x+4y-11=0}\\\\ \mathsf{x^2+y^2-2x+4y=11}\\\\ \mathsf{x^2-2x+y^2+4y=11}\\\\ \mathsf{x^2-2\cdot x\cdot 1+y^2+2\cdot y\cdot 2=11}$


Para completar os quadrados do lado esquerdo, somamos $\mathsf{1^2+2^2}$ dos dois lados:

$\mathsf{x^2-2\cdot x\cdot 1+1^2+y^2+2\cdot y\cdot 2+2^2=11+1^2+2^2}\\\\ \underbrace{\mathsf{(x^2-2\cdot x\cdot 1+1^2)}}+\underbrace{\mathsf{(y^2+2\cdot y\cdot 2+2^2)}}=\mathsf{11+1+4}\\\\\\ \mathsf{(x-1)^2+(y+2)^2=16}\\\\ \mathsf{(x-1)^2+\big(y-(-2)\big)^2=4^2\qquad\quad(ii)}$


Comparando (ii) com (i), tiramos que

•  o centro é o ponto $\mathsf{C(1,\,-2);}$

•  o raio é $\mathsf{r=4.}$


Bons estudos! :-)