Question

Temos uma P.A de 20 termos onde o 1° termo é igual a 5. A soma de todos os termos dessa P.A é 480.O 13° termo é igual a?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, GabrielleGonzales, que a resolução é simples.
Pede-se o valor do 13º termo (a₁₃) de uma PA da qual são conhecidas as seguintes informações: a PA tem 20 termos (n = 20), o seu primeiro termo é igual a "5" (a₁ = 5) e a soma dos seus 20 termos é igual a 480 (S₂₀ = 480).

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Vamos encontrar o termo de ordem "n". Assim, utilizando-se a fórmula do termo geral de uma PA, teremos:

an = a₁ +(n-1)*r

Na fórmula acima, o nosso termo de ordem "n" será o 20º termo, pois a PA tem 20 termos. Assim, substituiremos "an" por "a₂₀". Por sua vez, substituiremos "a₁" por "5", que é o valor do 1º termo da PA. E finalmente substituiremos "n" por "20", pois estamos trabalhando com o 20º termo da PA. Assim, fazendo essas substituições, teremos:

a₂₀ = 5 + (20-1)*r
a₂₀ = 5 + (19)*r --- ou apenas:
a₂₀ = 5 + 19r <--- Este é o valor do 20º termo, que está expresso em função da razão (r).

ii) Agora vamos utilizar a fórmula da soma dos "n" primeiros termos de uma PA, que é esta:

Sn = (a₁ + an)*n/2

Na fórmula acima "Sn" é a soma dos "n" primeiros termos da PA. Como já sabemos que a PA tem 20 termos, então "Sn" será "S₂₀" que, por sua vez é igual a 480. Logo, substituiremos "Sn" por "480". Por seu turno, substituiremos "a₁" por "5", que é o valor do primeiro termo. O "an" será substituído por "a₂₀" que já vimos que é igual a "5+19r" . Finalmente, "n" será substituído por "20", que é o número de termos da PA. Assim, fazendo essas substituições, teremos:

480 = (5 + 5+19r)*20/2
480 = (10 + 19r)*10
480 = 10*10 + 19r*10
480 = 100 + 190r ---- passando "100" para o 1º membro, teremos:
480 - 100 = 190r
380 = 190r ---- vamos apenas inverter, ficando:
190r = 380
r = 380/190
r = 2 <--- Este é o valor da razão (r).

Finalmente, agora vamos encontrar qual é o valor do 13º termo (a₁₃).
Para isto basta saber que a₁₃ = a₁ + 12r (que é o que se obtém quando se aplica a fórmula do termo geral de uma PA).
Assim, teremos:

a₁₃ = a₁ + 12*r ----- substituindo-se "a₁" por 5 (que é o valor do 1º termo) e substituindo-se "r" por "2", que é o valor da razão, teremos:

a₁₃ = 5 + 12*2
a₁₃ = 5 + 24
a₁₃ = 29 <--- Esta é a resposta. Este é o valor do 13º pedido.

Bem, a resposta já está dada. Agora, apenas por mera curiosidade, vamos ver qual o formato dessa PA, com todos os seus 20 termos. Note que, para encontrar todos os seus termos basta ir somando a razão a partir do 1º termo e, assim, serão encontrados todos os seus 20 termos. Veja: 

(5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19; 21; 23; 25; 27; 29; 31; 33; 35; 37; 39; 41; 43).
olha aí como o 13º termo é 29 mesmo..↑. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Se você quiser ter o trabalho de somar todos os 20 termos acima vai encontrar que a soma vai resultar em 480.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.