Question

determine m de modo que a função do segundo grau f(x)=(1-3m) x^2 -x+m admita valor mínimo

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Patrícia, que a resolução é simples.
Pede-se para determinar o valor de "m" para que a  equação do 2º grau abaixo admita valor mínimo:

f(x) = 1-3m)x² - x + m .

Agora veja: uma função do 2º grau, da forma f(x) = ax² + bx + c admitirá valores máximos ou mínimos. Veja quando ocorre cada coisa:

i) O valor será mínimo se o termo "a" for positivo (o termo "a' é o coeficiente de x²).
ii) O valor será máximo se o termo "a" for negativo.

Bem, basta apenas saber disso e você já saberá como se comportará o formato do gráfico (parábola): terá valor mínimo (concavidade voltada pra cima) se o termo "a" for positivo. E terá valor máximo (concavidade voltada pra baixo) se o termo "a' for negativo.

Bem, visto isso, então vamos ver qual será o valor que "m" na equação da sua questão [f(x) = (1-3m)x² - x + m], para que ela admita valor mínimo.
Então vamos impor que o termo "a" seja positivo (> 0). Note que o termo "a" (coeficiente de x²) da função acima é: "1-3m" . Então vamos impor que ele seja positivo (>0). Assim:

1 - 3m > 0
- 3m > -1 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
3m < 1
m < 1/3 ------ Esta é a resposta. "m" deverá ser menor que "1/3" para que a equação dada admita valor mínimo.

Observe que quando se multiplica uma desigualdade por "-1" o sentido dela muda (o que era ">" passa pra "<" e vice-versa), que foi o que ocorreu com a nossa expressão acima. 

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.