Question

Sendo A= [5 2]
2 1 determine uma matriz B,tal que A.B=I onde I e a matriz identidade

Answer 1

Pelo que entendi é assim:
$A.B=I$
$</span>\left[\begin{array}{ccc}5&2\\2&1\end{array}\right]<span>.B=\left[\begin{array}{ccc} 1 &0\\0&1\end{array}\right]$
$B=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right].\left[\begin{array}{ccc}5&2\\2&1\end{array}\right] ^{-1}$.
calculando a inversa de A:
A.A-¹ = I
$\left[\begin{array}{ccc}5&2\\2&1\end{array}\right] . \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}5a+2c&5b+2d\\2a+1c&2b+1d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Resolvendo os sistemas :
1° sistema;
$\left \{ {{5a+2c=1} \atop {2a+1c=0}} \right.$:
 5a+2c = 1
5a= 1 -2c
a= $\frac{1-2c}{5}$

2a+1c= 0
2.$\frac{1-2c}{5}$ +1c= 0
$\frac{2-4c}{5}+1c = 0$
$\frac{2-4c+5c}{5}=0$
$2+c =5.0$
$c=0-2$
$c=-2$
Agora que temos ''c'' encontramos  ''a'':
$a= \frac{1-2c}{5}$
$a= \frac{1-2.(-2)}{5}$
a= $\frac{1+4}{5}$
a= $\frac{5}{5}$
a= $1$

2° sistema;
$\left \{ {{5b+2d=0} \atop {2b+1d=1}} \right.$:
5b+2d=0
5b= -2d
b= $\frac{-2d}{5}$

2b+1d= 1
2.($\frac{-2d}{5}$) +1d =1
$\frac{-4d}{5}$+1d =1
$\frac{-4d+5d}{5}=1$
$\frac{d}{5}=1$
d=5.1
d=5

Agora que temos ''d'' encontramos ''b'':
b= $\frac{-2d}{5}$
b= $\frac{-2.5}{5}$
b= $\frac{-10}{5}$
b= -2

Substituindo os valores temos a inversa de A:
 $\left[\begin{array}{ccc}1&-2\\-2&5\end{array}\right]$
 
Voltando para a matriz B:
B= $\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right] . \left[\begin{array}{ccc}1&-2\\-2&5\end{array}\right]$

B=  $\left[\begin{array}{ccc}1.1+(0.-2)&1.(-2)+0.5\\0.1+(1.-2)&0.(-2)+1.5\end{array}\right]$

B=  $\left[\begin{array}{ccc}1&-2\\-2&5\end{array}\right]$


Mas, a matriz que multiplicada pela matriz A que tem por resultado a matriz identidade é a matriz A-¹. Então acho que só é necessário calcular a matriz inversa de A  ,ou seja , (A-¹).

Pelo que entendi é isso .

Espero ter ajudado !