Question

Dê o conjunto da solução de cada inequação produto:
a) (x+7) (x-3) >0
b) (-x+1) (2x+5)

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Marília, que a resolução é simples.
Tem-se as seguintes inequações:

a) (x+7)*(x-3) >0
b) (-x+1)*(2x+5) ≤ 0

Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

a) (x+7)*(x-3) > 0

Veja que temos uma inequação-produto, constituída do produto entre duas equações do 1º grau, cujo resultado terá que ser MAIOR do que zero.
Temos f(x) = x + 7 e temos g(x) = x - 3
Faremos o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma das equações. Depois, em função de suas raízes, estudaremos a variação de sinais de cada uma delas. E, finalmente, encontraremos qual é o conjunto-solução da inequação dada. Então:

f(x) = x+7 ---> raízes: x+7 = 0 ---> x = - 7
g(x) = x-3 ---> raízes: x-3 = 0 ---> x = 3

Agora vamos analisar a variação de sinais de cada uma delas. Assim:

a) f(x) = x + 7 ... - - - - - - - - (-7)+ + + + + + + + + + + + + + + + + +
b) g(x) = x - 3 ... - - - - - - - - - - - - - - - - - - (3) + + + + + + + + + + +
c) a * b ............ + + + + + + (-7)- - - - - - -- (3)  + + + + + + + + + + +

Como queremos que f(x)*g(x) seja MAIOR do que zero, então só nos vai interesssar onde tiver sinal de MAIS no item "c" acima, que nos fornece o resultado do produto entre f(x) e g(x). Assim o intervalo que dá o conjunto-solução da inequação será:

x < -7 , ou x > 3

Se quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma:

S = {x ∈ R | x < -7, ou x > 3}

Ou ainda, também se quiser, o conjunto-solução poderá ser expresso do seguinte modo, o que significa a mesma coisa:

S = (-∞; -7) ∪ (3; +∞).


b) (-x+1)*(2x+5) ≤ 0

Veja: aqui temos também uma inequação-produto, constituída por duas equações do 1º grau, cujo resultado terá que ser menor ou igual a zero.
Temos f(x) = -x+1 e temos g(x) = 2x+5.
Vamos fazer o mesmo que fizemos na questão do item "a", ou seja, encontraremos as raízes de cada uma das equações e depois, em função de suas raízes, encontraremos o conjunto-solução da inequação dada.
Assim:

f(x) = -x+1 ---> raízes: -x + 1 = 0 ---> - x = - 1 ---> x = 1
g(x) = 2x+5 ---> raízes: 2x+5 = 0 ---> 2x = - 5 ---> x = - 5/2.

Agora vamos analisar a variação de sinais de cada uma das equações dadas, dando, no fim, o conjunto-solução da inequação dada. Assim:

a) f(x) = -x + 1 ... + + + + + + + + + + + + + (1) - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
b) g(x) = 2x+5... - - - - - - - -  (-5/2) + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
c) a * b ............ - - - - - - - -- (-5/2)+ + + + (1)- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Como queremos que f(x)*g(x) seja MENOR ou IGUAL a zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MENOS (ou igual a zero) no item "c" acima, que nos fornece o resultado do produto de f(x) por g(x).
Assim, o intervalo que nos dá o resultado da inequação dada será:

x ≤ - 5/2, ou x ≥ 1

Se quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

S = {x ∈ R | x ≤ - 5/2, ou x ≥ 1}

Ou ainda, também se quiser, o conjunto-solução poderá ser apresentado do seguinte modo, o que dá no mesmo:

S = (-∞; 5/2] ∪ [1; +∞).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.