Question

Sabendo que cos[3x] = -1, quais são os possíveis valores para cos[x] ?

Answer 1

Caso tiver problemas para visualizar a resposta pelo aplicativo, experimente abrir pelo navegador: https://brainly.com.br/tarefa/8046465

_______________


$\mathsf{cos(3x)=-1}\\\\ \mathsf{cos(3x)=cos\,\pi}\\\\\\ \mathsf{3x=\pi+2k\cdot \pi}\\\\ \mathsf{x=\dfrac{1}{3}\cdot (\pi+2k\cdot \pi)}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2k\cdot \pi}{3}}$


onde $\mathsf{k}$ é inteiro.


Vejamos o que acontece com $\mathsf{x}$ quando variamos $\mathsf{k}$ nos inteiros:


•  Para $\mathsf{k=0:}$

$\mathsf{x=\dfrac{\pi}{3}}\\\\\\ \mathsf{cos\,x=cos\,\dfrac{\pi}{3}}\\\\\\ \mathsf{cos\,x=\dfrac{\,1\,}{2}}\qquad\quad\checkmark$


•  Para $\mathsf{k=2:}$

$\mathsf{x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2\pi}{3}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{3\pi}{3}}\\\\\\ \mathsf{x=\pi}\\\\\\ \mathsf{cos\,x=cos\,\pi}\\\\ \mathsf{cos\,x=-1}\qquad\quad\checkmark$


•  Para $\mathsf{k=3:}$

$\mathsf{x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2\cdot 2\pi}{3}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{4\pi}{3}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{5\pi}{3}}\\\\\\ \mathsf{cos\,x=cos\,\dfrac{5\pi}{3}}$

$\mathsf{cos\,x=cos\!\left(2\pi-\dfrac{\pi}{3} \right )}\\\\\\ \mathsf{cos\,x=cos\,\dfrac{\pi}{3}}\\\\\\ \mathsf{cos\,x=\dfrac{\,1\,}{2}}\qquad\quad\checkmark$


Para outros valores inteiros de $\mathsf{k,}$ obtemos os mesmos valores acima (esse processo é periódico módulo 3).


Portanto os possíveis valores para $\mathsf{cos\,x}$ são $\mathsf{-1}$ e $\mathsf{\dfrac{\,1\,}{2}.}$


Bons estudos! :-)