Question

A função real F, de variável real, dada por F(x)= -x²+12x+20 , tem um valor.

A- Mínimo, igual a -16, para X= 6
B- Mínimo, igual a 16, para X= -12
C- Máximo, igual a 56, para X= 6
D- Máximo, igual a 72, para X= 12
E- Máximo, igual a 240, para X= 2

Preciso do calculo também , obrigado!

Answer 1

O valor máximo ou mínimo ocorre em xv, dado por:
xv = -b/2a => xv = -12/-2 = 6
Se a < 0 , valor máximo e se a > 0 tem-se valor mínimo.
Como a = -1 < 0 a função adimite valr máximo.
Vmáx = f(xv) => Vmáx = -(6)² + 12.6 + 20 => Vmáx = -36 + 72 + 20 = 56
Letra C

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Euller, que a resolução é bem simples.
Dada a equação f(x)= - x² + 12x + 20 pede-se para informar se essa função tem valor mínimo ou máximo e, para isso, dá o valor correspondente de "x" para que a função alcance esse mínimo ou esse máximo.
Agora veja, antes de mais nada, quando uma equação do 2º grau tem mínimo ou máximo:

i) Uma função do 2º grau, da forma f(x) = ax² + bx + c, terá um ponto de mínimo se o termo "a" for positivo (observação: termo "a" é o coeficiente de x²).

ii) Uma função do 2º grau, da forma f(x) = ax² + bx + c, terá um ponto de máximo se o termo "a" for negativo.

iii) Assim, como a função da sua questão, que é f(x) = - x² + 12x + 20, tem o seu termo "a" negativo, então ela terá um ponto de máximo. Ou seja, a função f(x) atingirá um máximo (e não um mínimo).
Resta, agora, encontrar qual é esse ponto de máximo. E, para isso, vamos encontrar qual é o vértice  (xv; yv) do gráfico dessa função (parábola) .
Uma forma bem prática pra encontrar qual é o seu ponto máximo é encontrar logo o valor da abscissa do vértice (xv). Uma vez encontrado o valor de "xv", então o valor máximo da função será dado pelo "y" do vértice (yv) e que será obtido pela substituição, na função dada, pelo valor do "xv" obtido.
Então vamos encontrar a abscissa do vértice (xv), que é dada pela seguinte fórmula:

xv = - b/2a ----- veja que a função da sua questão tem os seguintes coeficientes: a = - 1 (é o coeficiente de x²); b = 12 (é o coeficiente de "x"); c = 20 (é o coeficiente do termo independente).
Assim, utilizando a fórmula do "xv" acima teremos:

xv = - b/2a ---- fazendo as devidas substituições (vide coeficientes acima)

xv = - 12/2*(-1)
xv = - 12/-2
xv = 12/2
xv = 6 <---- Este é o valor da abscissa do vértice.

Agora, para encontrar a ordenada do vértice (yv), que vai dar o valor máximo da função dada, vamos substituir o "x" por "6" na função dada, que é esta:

f(x) = - x² + 12x + 20 ----- substituindo-se "x' por "6", teremos:
f(6) = - (6²) + 12*6 + 20
f(6) = - 36 + 72 + 20
f(6) = 56 <---- Este é o valor da ordenada do vértice (yv), que é quem dá o valor máximo da função da sua questão. A propósito, note que o "y" do vértice (yv) também poderia ser obtido pela sua fórmula, que é esta:
yv = -(b²-4ac)/4a <----- se você substituir cada letra pelos coeficientes da função vai encontrar que yv = 56, exatamente o mesmo valor que encontramos quando substituímos o valor de "x" por "6" na função dada.

Assim, resumindo, temos que a função dada tem um valor:

máximo de 56, para x = 6 <---- Esta é a resposta. Opção "c".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.