Question

Me ajudem o mais rápido possível! Por Favor! Caminhando em linha reta na margem de um rio, o pescador João vai do ponto A ao ponto B percorrendo uma distância de 300 metros. Quando ele está no ponto A ele avista seu colega Joaquim, parado no ponto C, pescando na outra margem do rio, de tal forma que o ângulo BÂC mede 60 graus e, quando em B, verifica que o ângulo A^BC mede 45 graus.Calcule a que distância Joaquim está da margem onde João se encont√ra:
OBS: Colocar fator comum em evidência
a) 150(3-√3)
b) 150(3+√3)
c)300(3-√3)
d)150(√3 -3)
e)300(√3-3)

Answer 1

Olá Diva,


O enunciado nos da um triângulo, onde AB mede 300 metros e está na margem onde João está. No outro lado do rio se encontra seu colega Joaquim no ponto C.

Precisamos imaginar uma reta perpendicular a AB que intercepta o vértice C desse triângulo. Essa será a distância das margens entre os rios. Vamos nomear de H o ponto que liga C ao segmento AB.

Agora temos 2 triângulos retângulos. Chamaremos de x o segmento de H até C, e como sabemos que que AB tem 300 metros, AH terá (300 - x).

Com essas informações podemos usar as relações trigonométricas para encontrar a distância entre as margens (CH).

Como o ângulo de BAC e ABC, usaremos a tg de seus ângulos:

$\mathsf{tg(60)=\dfrac{\overline{CH}}{(300-x)}\Rightarrow \sqrt{3}\cdot (300-x)=\overline{CH}~(i)}\\\\\\\mathsf{tg(45)=\dfrac{\overline{CH}}{x}\Rightarrow 1\cdot x=\overline{CH}~(ii)}\\\\\\\\\mathsf{(i)=(ii)\Rightarrow \sqrt{3}\cdot(300-x)=x}\\\\=\\\\\mathsf{300\sqrt{3}-\sqrt{3}\cdot x=x\Rightarrow 300\sqrt{3}=x+\sqrt{3}\cdot x\Rightarrow 300\sqrt{3}=x\cdot(1+\sqrt{3})}\\\\=$

$\mathsf{x=\dfrac{300\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}\cdot\dfrac{1-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\Rightarrow x =\dfrac{300\sqrt{3}-300\cdot 3}{1-3}\Rightarrow x=\dfrac{\diagup\!\!\!\!\!300\cdot(\sqrt{3}-3)}{-\diagup\!\!\!\!2}}\\\\=\\\\\mathsf{x=-150\cdot(\sqrt{3}-3)~~~~~ou~~~~~x=150\cdot(3-\sqrt{3})}$

Pela equação (ii), temos que CH é igual a x, portanto:

$\large\boxed{\mathsf{\overline{CH}=150\cdot(3-\sqrt{3})}}$

Resposta (a)

Colocarei uma imagem abaixo para elucidar melhor a resposta.


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