Question

(1).Considere 3 cargas idênticas, Q1=Q2=Q3=Q nos vértices de um triângulo (V.Figura)
equilátero de lado 'α' Determine o vetor força elétrica resultante sobre a carga de Q2.

(2).Sendo Q=1,6 X 10^-19 C e α= 0,0,02 µm, determine a resultante do ex 1.

Answer 1

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Observe a figura em anexo.

•  força de $\mathsf{Q_1}$ sobre $\mathsf{Q_2}:$    $\overrightarrow{\mathsf{F_{12}}};$

•  força de $\mathsf{Q_3}$ sobre $\mathsf{Q_2}:$    $\overrightarrow{\mathsf{F_{32}}};$

•   constante eletrostática no vácuo:   $\mathsf{k=9\cdot 10^9~N\cdot m^2/C^2;}$


Como as três cargas são pontuais e idênticas, as forças eletrostáticas são de afastamento (cargas de mesmo sinal se repelem).

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(1)

•   Calculando a magnitude de $\overrightarrow{\mathsf{F_{12}}}:$

$\mathsf{F_{12}=k\cdot \dfrac{|Q_1|\cdot |Q_2|}{a^2}}\\\\\\ \mathsf{F_{12}=k\cdot \dfrac{|Q|\cdot |Q|}{a^2}}\\\\\\ \mathsf{F_{12}=k\cdot \dfrac{|Q|^2}{a^2}}\\\\\\ \mathsf{F_{12}=k\cdot \dfrac{Q^2}{a^2}}\qquad\quad\checkmark$


•   Calculando a magnitude de $\overrightarrow{\mathsf{F_{32}}}:$

De forma análoga,

$\mathsf{F_{32}=k\cdot \dfrac{|Q_3|\cdot |Q_2|}{a^2}}\\\\\\ \mathsf{F_{12}=k\cdot \dfrac{|Q|\cdot |Q|}{a^2}}\\\\\\ \mathsf{F_{32}=k\cdot \dfrac{Q^2}{a^2}}\qquad\quad\checkmark$


•   Calculando a magnitude da força elétrica resultante sobre  $\mathsf{Q_2}:$

Usa-se a Lei dos Cossenos:

(o ângulo entre os vetores $\overrightarrow{\mathsf{F_{12}}}$ e $\overrightarrow{\mathsf{F_{32}}}$ é de $\mathsf{60^\circ}$)


$\mathsf{F_R^2=F_{12}^2+F_{32}^2+2\cdot F_{12}\cdot F_{32}\cdot cos\,60^\circ}\\\\\\ \mathsf{F_R^2=\left(k\cdot \dfrac{Q^2}{a^2} \right )^{\!\!2}+\left(k\cdot \dfrac{Q^2}{a^2} \right )^{\!\!2}+\diagup\!\!\!\! 2\cdot \left(k\cdot \dfrac{Q^2}{a^2} \right )\cdot \left(k\cdot \dfrac{Q^2}{a^2} \right )\cdot \dfrac{1}{\diagup\!\!\!\! 2}}\\\\\\ \mathsf{F_R^2=\left(k\cdot \dfrac{Q^2}{a^2} \right )^{\!\!2}+\left(k\cdot \dfrac{Q^2}{a^2} \right )^{\!\!2}+\left(k\cdot \dfrac{Q^2}{a^2} \right )^{\!\!2}}\\\\\\ \mathsf{F_R^2=3\cdot \left(k\cdot \dfrac{Q^2}{a^2}\right)^{\!\!2}}$

$\mathsf{F_R=\sqrt{3\cdot \left(k\cdot \dfrac{Q^2}{a^2}\right)^{\!\!2}}}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{F_R=k\cdot \dfrac{Q^2}{a^2}\cdot \sqrt{3}} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{m\'odulo da for\c{c}a resultante}$


A direção e o sentido da força resultante estão indicadas no anexo. Pode ser facilmente obtida pela regra do paralelogramo.

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(2)

Para

$\mathsf{Q=1,\!6\cdot 10^{-19}~C;}$

$\mathsf{a=0,\!02~\mu m=0,\!02\cdot 10^{-6}~m.}$


O módulo da resultante no exercício (1) é

$\mathsf{F_R=k\cdot \dfrac{Q^2}{a^2}\cdot \sqrt{3}}\\\\\\ \mathsf{F_R=9\cdot 10^9\cdot \dfrac{(1,\!6\cdot 10^{-19})^2}{(0,\!02\cdot 10^{-6})^2}\cdot \sqrt{3}}\\\\\\ \mathsf{F_R=9\cdot 10^9\cdot \dfrac{2,\!56\cdot 10^{-38}}{0,\!0004\cdot 10^{-12}}\cdot \sqrt{3}}\\\\\\ \mathsf{F_R=9\cdot 10^9\cdot \dfrac{2,\!56}{0,\!0004}\cdot 10^{-38-(-12)}\cdot \sqrt{3}}$

$\mathsf{F_R=9\cdot 10^9\cdot 6\,400\cdot 10^{-38+12}\cdot \sqrt{3}}\\\\ \mathsf{F_R=57\,600\sqrt{3}\cdot 10^9\cdot 10^{-26}}\\\\ \mathsf{F_R=57\,600\sqrt{3}\cdot 10^{-17}}$

$\mathsf{F_R\approx 99\,800\cdot 10^{-17}}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{F_R\approx 9,\!98\cdot 10^{-13}~N} \end{array}}\qquad\quad\checkmark$


Bons estudos! :-)