Question

Calcular pela definição:

log de 32 na base (0,25) 

com o cálculo 

Answer 1

Para não complicar trabalhando com decimais, vamos chamar o 0,25 de 1/4, pois o valor é correspondente, correto?

Bem, temos então $log_{ \frac{1}{4} } 32$. Como os dois são múltiplos (ou potências) de 2 (o 32 e o 1/4), podemos trabalhá-los na base 2. Sendo assim, vamos fazer a mudança de base:
$log_{B} A= \frac{ log_{C}A }{ log_{C}B } \\ \\ log_{ \frac{1}{4} }32 = \frac{ log_{2}32 }{ log_{2} \frac{1}{4} }$

Basta então resolver utilizando as propriedades logarítmicas:

$\frac{ log_{2}32 }{ log_{2} \frac{1}{4} }$

$= \frac{log_{2} 2^{5}}{log_{2} 2^{-2}}$ (transformando os valores em potências de 2)

$= \frac{5.log_{2}2 }{(-2).log_{2}2 }$

Lembrando que todo log de um número na base dele mesmo é 1 (ex: $log_{5}5 =1$; $log_{2}2 = 1$), então:

$= \frac{5.1}{(- 2). 1} \\ = \frac{5}{-2}$

Transformando novamente em número decimais (já que você havia pedido como 0,25 e eu utilizei 1/4), temos:

$\frac{5}{-2}=-2,5$

Portanto, $log_{0,25}32=-2,5$.

Answer 2

Olá,

seguindo a definição de log

$log_bc=k~\to~b^k=c$    ,    teremos:

$log_{0,25}32=x\\\\ 0,25= \dfrac{25}{100}= \dfrac{25:25}{100:25}= \dfrac{1}{4}\\\\ log_{ \tfrac{1}{4}}32=x\\\\\\ \dfrac{1}{4}^x=32\\\\ (2^{-2})^x=2^5\\ \not2^{-2x}=\not2^5\\\\ -2x=5\\\\ x=- \dfrac{5}{2}$

Tenha ótimos estudos =))