Question

Me ajudem. Quantas soluções reais tem a equação √x+2 + 4=x ? ...ps: a raíz quadrada vai até o 2.

Answer 1

Para resolver uma equação irracional devemos atender o seguinte:

$\fbox{ \mathsf{\sqrt{f(x)}=g(x)~\Leftrightarrow~f(x)=[g(x)]^2~~e~~g(x) \geq 0} }$

Temos:

$\mathsf{\sqrt{x+2}+4=x}\\\\\mathsf{\sqrt{x+2}=x-4~\Leftrightarrow~x+2=(x-4)^2~~e~~\underbrace{\mathsf{x-4 \geq 0}}_{\mathsf{condi\c{c}\~ao}}.}$

Encontrar a(s) raiz(es) e atender a condição, nos garante que a raiz seja verdadeira.

$\mathsf{x+2=(x-4)^2}\\\\\mathsf{x+2=x^2-8x+16}\\\\\underbrace{\mathsf{x^2-9x=-14}}_{\mathsf{equa\c{c}\~ao~quadr\'atica}}$

Vou resolver a equação quadrática por completamento de quadrados:

$\mathsf{x^2-9x=-14}\\\\\mathsf{x^2-9x+\frac{81}{4}=-14+\frac{81}{4}}\\\\\mathsf{(x-\frac{9}{2})^2=\frac{-56}{~~4}+\frac{81}{4}}\\\\\mathsf{(x-\frac{9}{2})^2=\frac{25}{4}}\\\\\mathsf{\sqrt{(x-\frac{9}{2})^2}=\sqrt{\frac{25}{4}}}\\\\\mathsf{|x-\frac{9}{2}|=\frac{5}{2}~\Rightarrow~x-\frac{9}{2}=-\frac{5}{2}~~ou~~x-\frac{9}{2}=\frac{5}{2}}\\\\\mathsf{x=-\frac{5}{2}+\frac{9}{2}~~ou~~x=\frac{5}{2}+\frac{9}{2}}\\\\\mathsf{x=\frac{4}{2}~~ou~~x=\frac{14}{2}}\\\\\mathsf{x=2~~ou~~x=7}$

Vamos analisar se as raízes encontradas atendem à condição:

Para x = 2

$\mathsf{x-4 \geq 0}\\\\\mathsf{2-4 \geq 0}\\\\\mathsf{-2 \geq 0~~(falso)}$

Não atende à condição.

Para x = 7

$\mathsf{x-4 \geq 0}\\\\\mathsf{7-4 \geq 0}\\\\\mathsf{3 \geq 0~~(verdadeiro)}$

Atende a condição.

Portanto a solução (conjunto verdade) para a equação irracional proposta é: 

$\fbox{ \mathsf{S=\begin{Bmatrix}\mathsf{x\in\mathbb{R}|~x=7}\end{Bmatrix}} }\mathsf{~~(resposta)}$

Apenas uma solução Real, que é x = 7.