Question

Resolva a inequação : x⁴ - 3x² - 4 > 0 para ∀ x ∈ IR .

Answer 1

Olá

Vamos lá :

X^4 - 3x^2 -4 >0
Calcular baskara :

Delta =b^2- 4×a× c
Delta=(-3) ^2 - 4 ×1×(-4)
Delta=25
Y1=4
Y2=-1

Resolvendo :

X4=y
X2= Y1
X2= 4
X= + ou - 2

X2=y2
X2=-1
X=+ ou - i

&=(i,-i;-2,2)
Para ter certeza é só substitui na equação .
Espero ter ajudado!

Answer 2

$\mathsf{x^4-3x^2-4\ \textgreater \ 0}$

Fixemos x² = y, temos:

$\mathsf{y^2-3y-4\ \textgreater \ 0}\\\\\mathsf{y^2-3y\ \textgreater \ 4}\\\\\mathsf{y^2-3y+(\frac{3}{2})^2\ \textgreater \ 4+(\frac{3}{2})^2}\\\\\mathsf{(y-\frac{3}{2})^2\ \textgreater \ 4+\frac{9}{4}}\\\\\mathsf{(y-\frac{3}{2})^2\ \textgreater \ \frac{16}{4}+\frac{9}{4}}\\\\\mathsf{(y-\frac{3}{2})^2\ \textgreater \ \frac{25}{4}}\\\\\mathsf{\sqrt{(y-\frac{3}{2})^2}\ \textgreater \ \sqrt{\frac{25}{4}}}\\\\\mathsf{|y-\frac{3}{2}|\ \textgreater \ \frac{5}{2}}$

Pela propriedade do módulo para um número real k, com k > 0 

$\mathsf{|x|\ \textgreater \ k~\Rightarrow~x\ \textless \ -k~~ou~~x\ \textgreater \ k}$

Então

$\mathsf{|y-\frac{3}{2}|\ \textgreater \ \frac{5}{2}~\Rightarrow~y-\frac{3}{2}\ \textless \ -\frac{5}{2}~~ou~~y-\frac{5}{2}\ \textgreater \ \frac{5}{2}}\\\\\\\begin{Bmatrix}\mathsf{y-\frac{3}{2}\ \textless \ -\frac{5}{2}~\rightarrow~y\ \textless \ -\frac{5}{2}+\frac{3}{2}~\rightarrow~y\ \textless \ -\frac{2}{2}~\rightarrow~y\ \textless \ -1}\\\\\mathsf{ou}\\\\\mathsf{y-\frac{3}{2}\ \textgreater \ \frac{5}{2}~\rightarrow~y\ \textgreater \ \frac{5}{2}+\frac{3}{2}~\rightarrow~y\ \textgreater \ \frac{8}{2}~\rightarrow~y\ \textgreater \ 4\hspace{29}}\end.$

Como x² = y

$\mathsf{x^2\ \textless \ -1}\\\\\mathsf{\sqrt{x^2}\ \textless \ \sqrt{-1}~~~~(Indeterminante~em~\mathbb{R})}\\\\---------------------------\\\\\mathsf{x^2\ \textgreater \ 4}\\\\\mathsf{\sqrt{x^2}\ \textgreater \ \sqrt{4}}\\\\\mathsf{|x|\ \textgreater \ 2~\Rightarrow~x\ \textless \ -2~~ou~~x\ \textgreater \ 2}$

Ou seja, para valores menores que menos dois ou maiores que dois a inequação proposta é satisfeita. 

Note que se - 2 <  x < 2 a inequação não é satisfeita.

Reta real com os intervalos:

$\mathsf{]-\infty;-2[~=x\in\mathbb{R}|~x\ \textless \ -2\hspace{35}\underline{\hspace{...................}}\underset{\hspace{-7}-2}\circ\underline{\hspace{80}}_{\blacktriangleright}_{_x}}\\\\\\\mathsf{]2;+\infty[~=x\in\mathbb{R}|~x\ \textgreater \ 2\hspace{60}\underline{\hspace{80}}\underset{2}\circ\underline{..................}_{\blacktriangleright}_{_x}}$

Hachurei a reta com pontos por falta de recurso rsrs

Plotagem do gráfico da inequação em anexo.